Theorem br1cnvres 38305

Description: Binary relation on the converse of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
br1cnvres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))

Proof of Theorem br1cnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5626	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾ 𝐴) = (𝑅 ∩ (𝐴 × V))
2	1	cnveqi 5813	. . 3 ⊢ ◡(𝑅 ↾ 𝐴) = ◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))
3	2	breqi 5095	. 2 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ 𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶)
4		elex 3457	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
5		br1cnvinxp 38292	. . . . 5 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵))
6		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
7	5, 6	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
8	7	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
10	3, 9	bitrid 283	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∩ cin 3896   class class class wbr 5089   × cxp 5612  ^◡ccnv 5613   ↾ cres 5616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-res 5626

This theorem is referenced by:  elec1cnvres  38306  coss1cnvres  38518