Theorem br1cnvres 36942

Description: Binary relation on the converse of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
br1cnvres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))

Proof of Theorem br1cnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5681	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾ 𝐴) = (𝑅 ∩ (𝐴 × V))
2	1	cnveqi 5866	. . 3 ⊢ ◡(𝑅 ↾ 𝐴) = ◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))
3	2	breqi 5147	. 2 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ 𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶)
4		elex 3491	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
5		br1cnvinxp 36929	. . . . 5 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵))
6		anass 469	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
7	5, 6	bitri 274	. . . 4 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
8	7	baib 536	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
10	3, 9	bitrid 282	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3473   ∩ cin 3943   class class class wbr 5141   × cxp 5667  ^◡ccnv 5668   ↾ cres 5671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-br 5142  df-opab 5204  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-res 5681

This theorem is referenced by:  coss1cnvres  37092