Theorem br1cnvres 37593

Description: Binary relation on the converse of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
br1cnvres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))

Proof of Theorem br1cnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5678	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾ 𝐴) = (𝑅 ∩ (𝐴 × V))
2	1	cnveqi 5864	. . 3 ⊢ ◡(𝑅 ↾ 𝐴) = ◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))
3	2	breqi 5144	. 2 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ 𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶)
4		elex 3485	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
5		br1cnvinxp 37580	. . . . 5 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵))
6		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
7	5, 6	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
8	7	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
10	3, 9	bitrid 283	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ∩ cin 3939   class class class wbr 5138   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665   ↾ cres 5668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-br 5139  df-opab 5201  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-res 5678

This theorem is referenced by:  coss1cnvres  37743