Theorem br1cnvres 38229

Description: Binary relation on the converse of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
br1cnvres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))

Proof of Theorem br1cnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5677	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾ 𝐴) = (𝑅 ∩ (𝐴 × V))
2	1	cnveqi 5865	. . 3 ⊢ ◡(𝑅 ↾ 𝐴) = ◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))
3	2	breqi 5129	. 2 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ 𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶)
4		elex 3484	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
5		br1cnvinxp 38216	. . . . 5 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵))
6		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
7	5, 6	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
8	7	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
10	3, 9	bitrid 283	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   ∩ cin 3930   class class class wbr 5123   × cxp 5663  ^◡ccnv 5664   ↾ cres 5667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5124  df-opab 5186  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-res 5677

This theorem is referenced by:  coss1cnvres  38377