Theorem br1cnvres 38583

Description: Binary relation on the converse of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
br1cnvres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))

Proof of Theorem br1cnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5632	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾ 𝐴) = (𝑅 ∩ (𝐴 × V))
2	1	cnveqi 5818	. . 3 ⊢ ◡(𝑅 ↾ 𝐴) = ◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))
3	2	breqi 5080	. 2 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ 𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶)
4		elex 3448	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
5		br1cnvinxp 38568	. . . . 5 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵))
6		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶𝑅𝐵) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
7	5, 6	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
8	7	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ∩ (𝐴 × V))𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
10	3, 9	bitrid 283	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427   ∩ cin 3884   class class class wbr 5074   × cxp 5618  ^◡ccnv 5619   ↾ cres 5622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-res 5632

This theorem is referenced by:  elec1cnvres  38584  coss1cnvres  38816