Theorem br1cossres 38423

Description: 𝐵 and 𝐶 are cosets by a restriction: a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
br1cossres	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≀ (𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝐵 ∧ 𝑢𝑅𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉   𝑢,𝑊

Proof of Theorem br1cossres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcoss 38415	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≀ (𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ ∃𝑢(𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵 ∧ 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶)))
2		exanres 38276	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (∃𝑢(𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵 ∧ 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝐵 ∧ 𝑢𝑅𝐶)))
3	1, 2	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≀ (𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝐵 ∧ 𝑢𝑅𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102   ↾ cres 5633   ≀ ccoss 38162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-res 5643  df-coss 38395

This theorem is referenced by:  br1cossres2  38424  br1cossinres  38431  br1cossxrnres  38432