Theorem br1cossres 38395

Description: 𝐵 and 𝐶 are cosets by a restriction: a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
br1cossres	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≀ (𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝐵 ∧ 𝑢𝑅𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉   𝑢,𝑊

Proof of Theorem br1cossres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcoss 38387	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≀ (𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ ∃𝑢(𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵 ∧ 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶)))
2		exanres 38251	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (∃𝑢(𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵 ∧ 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝐵 ∧ 𝑢𝑅𝐶)))
3	1, 2	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≀ (𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝐵 ∧ 𝑢𝑅𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166   ↾ cres 5702   ≀ ccoss 38135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-res 5712  df-coss 38367

This theorem is referenced by:  br1cossres2  38396  br1cossinres  38403  br1cossxrnres  38404