Theorem br1cossres 39206

Description: 𝐵 and 𝐶 are cosets by a restriction: a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
br1cossres	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≀ (𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝐵 ∧ 𝑢𝑅𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉   𝑢,𝑊

Proof of Theorem br1cossres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcoss 39198	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≀ (𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ ∃𝑢(𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵 ∧ 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶)))
2		exanres 38978	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (∃𝑢(𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵 ∧ 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝐵 ∧ 𝑢𝑅𝐶)))
3	1, 2	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≀ (𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝐵 ∧ 𝑢𝑅𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088   class class class wbr 5108   ↾ cres 5662   ≀ ccoss 38860

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-xp 5666  df-res 5672  df-coss 39178

This theorem is used by:  br1cossres2  39207  br1cossinres  39214  br1cossxrnres  39215