Theorem br2coss 38429

Description: Cosets by ≀ 𝑅 binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
br2coss	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅))

Proof of Theorem br2coss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcoss3 38424	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) ≠ ∅))
2		cnvcosseq 38428	. . . . 5 ⊢ ◡ ≀ 𝑅 = ≀ 𝑅
3	2	eceq2i 8713	. . . 4 ⊢ [𝐴]◡ ≀ 𝑅 = [𝐴] ≀ 𝑅
4	2	eceq2i 8713	. . . 4 ⊢ [𝐵]◡ ≀ 𝑅 = [𝐵] ≀ 𝑅
5	3, 4	ineq12i 4181	. . 3 ⊢ ([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) = ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅)
6	5	neeq1i 2989	. 2 ⊢ (([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) ≠ ∅ ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅)
7	1, 6	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3913  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637  [cec 8669   ≀ ccoss 38169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ec 8673  df-coss 38402

This theorem is referenced by: (None)