Theorem br2coss 35214

Description: Cosets by ≀ 𝑅 binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
br2coss	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅))

Proof of Theorem br2coss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcoss3 35209	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) ≠ ∅))
2		cnvcosseq 35213	. . . . 5 ⊢ ◡ ≀ 𝑅 = ≀ 𝑅
3	2	eceq2i 8180	. . . 4 ⊢ [𝐴]◡ ≀ 𝑅 = [𝐴] ≀ 𝑅
4	2	eceq2i 8180	. . . 4 ⊢ [𝐵]◡ ≀ 𝑅 = [𝐵] ≀ 𝑅
5	3, 4	ineq12i 4107	. . 3 ⊢ ([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) = ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅)
6	5	neeq1i 3048	. 2 ⊢ (([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) ≠ ∅ ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅)
7	1, 6	syl6bb 288	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984   ∩ cin 3858  ∅c0 4211   class class class wbr 4962  ^◡ccnv 5442  [cec 8137   ≀ ccoss 34985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pr 5221

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-br 4963  df-opab 5025  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-ec 8141  df-coss 35190

This theorem is referenced by: (None)