Theorem br2coss 39554

Description: Cosets by ≀ 𝑅 binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
br2coss	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅))

Proof of Theorem br2coss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcoss3 39549	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) ≠ ∅))
2		cnvcosseq 39553	. . . . 5 ⊢ ◡ ≀ 𝑅 = ≀ 𝑅
3	2	eceq2i 8764	. . . 4 ⊢ [𝐴]◡ ≀ 𝑅 = [𝐴] ≀ 𝑅
4	2	eceq2i 8764	. . . 4 ⊢ [𝐵]◡ ≀ 𝑅 = [𝐵] ≀ 𝑅
5	3, 4	ineq12i 4115	. . 3 ⊢ ([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) = ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅)
6	5	neeq1i 3019	. 2 ⊢ (([𝐴]◡ ≀ 𝑅 ∩ [𝐵]◡ ≀ 𝑅) ≠ ∅ ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅)
7	1, 6	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴] ≀ 𝑅 ∩ [𝐵] ≀ 𝑅) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∩ cin 4089  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  [cec 8719   ≀ ccoss 39209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ec 8723  df-coss 39527

This theorem is used by: (None)