Theorem dfsymrel3 38746

Description: Alternate definition of the symmetric relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 21-Apr-2019.) (Revised by Peter Mazsa, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfsymrel3	⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ Rel 𝑅))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem dfsymrel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrel2 38745	. 2 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
2		cnvsym 6069	. . 3 ⊢ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥))
3	2	anbi1i 624	. 2 ⊢ ((◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅) ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ Rel 𝑅))
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096  ^◡ccnv 5621  Rel wrel 5627   SymRel wsymrel 38334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-symrel 38736

This theorem is referenced by:  refsymrel3  38764