Theorem dfsymrel4 38537

Description: Alternate definition of the symmetric relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfsymrel4	⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 = 𝑅 ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfsymrel4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrel2 38535	. 2 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
2		relcnveq 38305	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ↔ ◡𝑅 = 𝑅))
3	2	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ ((◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅) ↔ (◡𝑅 = 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 = 𝑅 ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ⊆ wss 3916  ^◡ccnv 5639  Rel wrel 5645   SymRel wsymrel 38176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5110  df-opab 5172  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-symrel 38530

This theorem is referenced by:  symrelim  38545  idsymrel  38547  epnsymrel  38548