Theorem dfsymrel4 39342

Description: Alternate definition of the symmetric relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfsymrel4	⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 = 𝑅 ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfsymrel4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrel2 39340	. 2 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
2		relcnveq 39035	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ↔ ◡𝑅 = 𝑅))
3	2	pm5.32ri 586	. 2 ⊢ ((◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅) ↔ (◡𝑅 = 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
4	1, 3	bitri 278	1 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 = 𝑅 ∧ Rel 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ⊆ wss 3906  ^◡ccnv 5662  Rel wrel 5668   SymRel wsymrel 38902

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-symrel 39331

This theorem is used by:  symrelim  39350  idsymrel  39352  epnsymrel  39353