Theorem dfsymrel4 38596

Description: Alternate definition of the symmetric relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfsymrel4	⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 = 𝑅 ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfsymrel4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrel2 38594	. 2 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
2		relcnveq 38364	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ↔ ◡𝑅 = 𝑅))
3	2	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ ((◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅) ↔ (◡𝑅 = 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 = 𝑅 ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ⊆ wss 3897  ^◡ccnv 5613  Rel wrel 5619   SymRel wsymrel 38235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-symrel 38589

This theorem is referenced by:  symrelim  38604  idsymrel  38606  epnsymrel  38607