Theorem ditgex 25781

Description: A directed integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditgex	⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ V

Proof of Theorem ditgex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ditg 25776	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
2		itgex 25699	. . 3 ⊢ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 ∈ V
3		negex 11365	. . 3 ⊢ -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ V
4	2, 3	ifex 4525	. 2 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2829	1 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ifcif 4474   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352   ≤ cle 11154  -cneg 11352  (,)cioo 13247  ∫citg 25547  ⨜cdit 25775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-nul 5246

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-uni 4859  df-iota 6442  df-fv 6494  df-ov 7355  df-neg 11354  df-sum 15596  df-itg 25552  df-ditg 25776

This theorem is referenced by:  itgsubstlem  25983