Theorem ditgex 25114

Description: A directed integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditgex	⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ V

Proof of Theorem ditgex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ditg 25109	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
2		itgex 25033	. . 3 ⊢ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 ∈ V
3		negex 11312	. . 3 ⊢ -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ V
4	2, 3	ifex 4522	. 2 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2833	1 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  ifcif 4472   class class class wbr 5089  (class class class)co 7329   ≤ cle 11103  -cneg 11299  (,)cioo 13172  ∫citg 24880  ⨜cdit 25108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2707  ax-nul 5247

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2941  df-v 3443  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-sn 4573  df-pr 4575  df-uni 4852  df-iota 6425  df-fv 6481  df-ov 7332  df-neg 11301  df-sum 15489  df-itg 24885  df-ditg 25109

This theorem is referenced by:  itgsubstlem  25310