Theorem ditgex 25972

Description: A directed integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditgex	⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ V

Proof of Theorem ditgex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ditg 25967	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
2		itgex 25890	. . 3 ⊢ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 ∈ V
3		negex 11443	. . 3 ⊢ -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ V
4	2, 3	ifex 4534	. 2 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2861	1 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ifcif 4483   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400   ≤ cle 11232  -cneg 11430  (,)cioo 13363  ∫citg 25738  ⨜cdit 25966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-uni 4869  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403  df-neg 11432  df-sum 15728  df-itg 25743  df-ditg 25967

This theorem is referenced by:  itgsubstlem  26168