Theorem ditgex 25769

Description: A directed integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditgex	⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ V

Proof of Theorem ditgex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ditg 25764	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥)
2		itgex 25687	. . 3 ⊢ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 ∈ V
3		negex 11379	. . 3 ⊢ -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥 ∈ V
4	2, 3	ifex 4529	. 2 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐶 d𝑥 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ifcif 4478   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353   ≤ cle 11169  -cneg 11366  (,)cioo 13266  ∫citg 25535  ⨜cdit 25763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-nul 5248

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-uni 4862  df-iota 6442  df-fv 6494  df-ov 7356  df-neg 11368  df-sum 15612  df-itg 25540  df-ditg 25764

This theorem is referenced by:  itgsubstlem  25971