Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsubstlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsubstlem 24661
 Description: Lemma for itgsubst 24662. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
itgsubst.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
itgsubst.le (𝜑𝑋𝑌)
itgsubst.z (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
itgsubst.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ*)
itgsubst.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑍(,)𝑊)))
itgsubst.b (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
itgsubst.c (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑍(,)𝑊)–cn→ℂ))
itgsubst.da (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
itgsubst.e (𝑢 = 𝐴𝐶 = 𝐸)
itgsubst.k (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝐾)
itgsubst.l (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝐿)
itgsubst.m (𝜑𝑀 ∈ (𝑍(,)𝑊))
itgsubst.n (𝜑𝑁 ∈ (𝑍(,)𝑊))
itgsubst.cl2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁))
Assertion
Ref Expression
itgsubstlem (𝜑 → ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐸   𝑥,𝑢,𝐾   𝑢,𝑀,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥   𝑢,𝑋,𝑥   𝑢,𝑌,𝑥   𝑢,𝐴   𝑥,𝐶   𝑢,𝑊,𝑥   𝑢,𝐿,𝑥   𝑢,𝑁,𝑥   𝑢,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐶(𝑢)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem itgsubstlem
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑡 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.le . . 3 (𝜑𝑋𝑌)
21ditgpos 24469 . 2 (𝜑 → ⨜[𝑋𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 · 𝐵) d𝑥)
3 itgsubst.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4 itgsubst.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
5 ax-resscn 10586 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
7 iccssre 12810 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
83, 4, 7syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
9 itgsubst.cl2 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁))
10 eqidd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴))
11 eqidd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) = (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢))
12 oveq2 7144 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 → (𝑀(,)𝑣) = (𝑀(,)𝐴))
13 itgeq1 24386 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀(,)𝑣) = (𝑀(,)𝐴) → ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢 = ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝐴 → ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢 = ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)
159, 10, 11, 14fmptco 6869 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))
169fmpttd 6857 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑀(,)𝑁))
17 ioossicc 12814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
18 itgsubst.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
19 itgsubst.w . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ ℝ*)
20 itgsubst.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (𝑍(,)𝑊))
21 eliooord 12787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (𝑍(,)𝑊) → (𝑍 < 𝑀𝑀 < 𝑊))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑍 < 𝑀𝑀 < 𝑊))
2322simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑍 < 𝑀)
24 itgsubst.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ (𝑍(,)𝑊))
25 eliooord 12787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (𝑍(,)𝑊) → (𝑍 < 𝑁𝑁 < 𝑊))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑍 < 𝑁𝑁 < 𝑊))
2726simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 < 𝑊)
28 iccssioo 12797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑍 ∈ ℝ*𝑊 ∈ ℝ*) ∧ (𝑍 < 𝑀𝑁 < 𝑊)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝑍(,)𝑊))
2918, 19, 23, 27, 28syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝑍(,)𝑊))
3017, 29sstrid 3926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑍(,)𝑊))
31 ioossre 12789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍(,)𝑊) ⊆ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍(,)𝑊) ⊆ ℝ)
3332, 5sstrdi 3927 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍(,)𝑊) ⊆ ℂ)
3430, 33sstrd 3925 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ)
35 itgsubst.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑍(,)𝑊)))
36 cncffvrn 23513 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑍(,)𝑊))) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑀(,)𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑀(,)𝑁)))
3734, 35, 36syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑀(,)𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑀(,)𝑁)))
3816, 37mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑀(,)𝑁)))
3917sseli 3911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁))
4031, 24sseldi 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
4140rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
4241adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
4331, 20sseldi 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
44 elicc2 12793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑣𝑣𝑁)))
4543, 40, 44syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑣𝑣𝑁)))
4645biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑣𝑣𝑁))
4746simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑣𝑁)
48 iooss2 12765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℝ*𝑣𝑁) → (𝑀(,)𝑣) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
4942, 47, 48syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑀(,)𝑣) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
5049sselda 3915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑣)) → 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁))
5130sselda 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊))
52 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑍(,)𝑊)–cn→ℂ))
53 cncff 23508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑍(,)𝑊)–cn→ℂ) → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶):(𝑍(,)𝑊)⟶ℂ)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶):(𝑍(,)𝑊)⟶ℂ)
5554fvmptelrn 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5651, 55syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5756adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5850, 57syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑣)) → 𝐶 ∈ ℂ)
59 ioombl 24179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀(,)𝑣) ∈ dom vol
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑀(,)𝑣) ∈ dom vol)
6117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
62 ioombl 24179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀(,)𝑁) ∈ dom vol
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ∈ dom vol)
6429sselda 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊))
6564, 55syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6629resmptd 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀[,]𝑁)) = (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶))
67 rescncf 23512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝑍(,)𝑊) → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑍(,)𝑊)–cn→ℂ) → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ)))
6829, 52, 67sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
6966, 68eqeltrrd 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
70 cniccibl 24454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7143, 40, 69, 70syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7261, 63, 65, 71iblss 24418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7372adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7449, 60, 57, 73iblss 24418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑣) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7558, 74itgcl 24397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
7639, 75sylan2 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
7776fmpttd 6857 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢):(𝑀(,)𝑁)⟶ℂ)
7830, 31sstrdi 3927 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ)
79 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 = 𝑢 → ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) = ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢))
80 nffvmpt1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑢((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡)
81 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑡((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢)
8279, 80, 81cbvitg 24389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢) d𝑢
83 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)
8483fvmpt2 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢) = 𝐶)
8550, 58, 84syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑣)) → ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢) = 𝐶)
8685itgeq2dv 24395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢) d𝑢 = ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)
8782, 86syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)
8887mpteq2dva 5126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡) = (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢))
8988oveq2d 7152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡)) = (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)))
90 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡) = (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡)
913rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
924rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
93 lbicc2 12845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9491, 92, 1, 93syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
95 n0i 4249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) → ¬ (𝑋[,]𝑌) = ∅)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ (𝑋[,]𝑌) = ∅)
97 feq3 6471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀(,)𝑁) = ∅ → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑀(,)𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶∅))
9816, 97syl5ibcom 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑀(,)𝑁) = ∅ → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶∅))
99 f00 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶∅ ↔ ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = ∅ ∧ (𝑋[,]𝑌) = ∅))
10099simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶∅ → (𝑋[,]𝑌) = ∅)
10198, 100syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑀(,)𝑁) = ∅ → (𝑋[,]𝑌) = ∅))
10296, 101mtod 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ¬ (𝑀(,)𝑁) = ∅)
10343rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
104 ioo0 12754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → ((𝑀(,)𝑁) = ∅ ↔ 𝑁𝑀))
105103, 41, 104syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑀(,)𝑁) = ∅ ↔ 𝑁𝑀))
106102, 105mtbid 327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ 𝑁𝑀)
10740, 43letrid 10784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑁𝑀𝑀𝑁))
108107ord 861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (¬ 𝑁𝑀𝑀𝑁))
109106, 108mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀𝑁)
110 resmpt 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀(,)𝑁)) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))
11117, 110ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀(,)𝑁)) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)
112 rescncf 23512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ) → ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀(,)𝑁)) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ)))
11317, 69, 112mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀(,)𝑁)) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ))
114111, 113eqeltrrid 2895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ))
11590, 43, 40, 109, 114, 72ftc1cn 24656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡)) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))
11629, 31sstrdi 3927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
117 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
118117tgioo2 23418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
119 iccntr 23436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
12043, 40, 119syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
1216, 116, 75, 118, 117, 120dvmptntr 24584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)))
12289, 115, 1213eqtr3rd 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))
123122dmeqd 5739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = dom (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))
12483, 56dmmptd 6466 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑀(,)𝑁))
125123, 124eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (𝑀(,)𝑁))
126 dvcn 24534 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢):(𝑀(,)𝑁)⟶ℂ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (𝑀(,)𝑁)) → (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ))
1276, 77, 78, 125, 126syl31anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ))
12838, 127cncfco 23522 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
12915, 128eqeltrrd 2891 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
130 cncff 23508 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
131129, 130syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
132131fvmptelrn 6855 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
133 iccntr 23436 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
1343, 4, 133syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
1356, 8, 132, 118, 117, 134dvmptntr 24584 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)))
136 reelprrecn 10621 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
137136a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
138 ioossicc 12814 . . . . . . . . 9 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
139138sseli 3911 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌))
140139, 9sylan2 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁))
141 itgsubst.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
142 elin 3897 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1) ↔ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1))
143141, 142sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1))
144143simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
145 cncff 23508 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
146144, 145syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
147146fvmptelrn 6855 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14856fmpttd 6857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℂ)
149 nfcv 2955 . . . . . . . . . . 11 𝑣𝐶
150 nfcsb1v 3852 . . . . . . . . . . 11 𝑢𝑣 / 𝑢𝐶
151 csbeq1a 3842 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑣𝐶 = 𝑣 / 𝑢𝐶)
152149, 150, 151cbvmpt 5132 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑣 / 𝑢𝐶)
153152fmpt 6852 . . . . . . . . 9 (∀𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝑣 / 𝑢𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℂ)
154148, 153sylibr 237 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝑣 / 𝑢𝐶 ∈ ℂ)
155154r19.21bi 3173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑣 / 𝑢𝐶 ∈ ℂ)
15631, 5sstri 3924 . . . . . . . . . 10 (𝑍(,)𝑊) ⊆ ℂ
157 cncff 23508 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑍(,)𝑊)) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑍(,)𝑊))
15835, 157syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑍(,)𝑊))
159158fvmptelrn 6855 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑍(,)𝑊))
160156, 159sseldi 3913 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1616, 8, 160, 118, 117, 134dvmptntr 24584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)))
162 itgsubst.da . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
163161, 162eqtr3d 2835 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
164122, 152eqtrdi 2849 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑣 / 𝑢𝐶))
165 csbeq1 3831 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴𝑣 / 𝑢𝐶 = 𝐴 / 𝑢𝐶)
166137, 137, 140, 147, 76, 155, 163, 164, 14, 165dvmptco 24585 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 / 𝑢𝐶 · 𝐵)))
167 nfcvd 2956 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑢𝐸)
168 itgsubst.e . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝐴𝐶 = 𝐸)
169167, 168csbiegf 3861 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝐴 / 𝑢𝐶 = 𝐸)
170140, 169syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐴 / 𝑢𝐶 = 𝐸)
171170oveq1d 7151 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐴 / 𝑢𝐶 · 𝐵) = (𝐸 · 𝐵))
172171mpteq2dva 5126 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 / 𝑢𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)))
173135, 166, 1723eqtrd 2837 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)))
174 resmpt 5873 . . . . . . . 8 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸))
175138, 174ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
176 eqidd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶))
177159, 10, 176, 168fmptco 6869 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸))
17835, 52cncfco 23522 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
179177, 178eqeltrrd 2891 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
180 rescncf 23512 . . . . . . . 8 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
181138, 179, 180mpsyl 68 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
182175, 181eqeltrrid 2895 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
183182, 144mulcncf 24060 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
184173, 183eqeltrd 2890 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
185 ioombl 24179 . . . . . . . 8 (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
186185a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
187 fco 6506 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶):(𝑍(,)𝑊)⟶ℂ ∧ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑍(,)𝑊)) → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
18854, 158, 187syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
189177feq1d 6473 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ))
190188, 189mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
191190fvmptelrn 6855 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐸 ∈ ℂ)
192139, 191sylan2 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℂ)
193 eqidd 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸))
194 eqidd 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
195186, 192, 147, 193, 194offval2 7409 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∘f · (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)))
196173, 195eqtr4d 2836 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∘f · (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)))
197138a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
198 cniccibl 24454 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
1993, 4, 179, 198syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
200197, 186, 191, 199iblss 24418 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
201 iblmbf 24381 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ MblFn)
202200, 201syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ MblFn)
203143simprd 499 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
204 cniccbdd 24075 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
2053, 4, 179, 204syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
206 ssralv 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
207138, 206ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
208 eqid 2798 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
209208, 192dmmptd 6466 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) = (𝑋(,)𝑌))
210209raleqdv 3364 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
211175fveq1i 6647 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)
212 fvres 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧))
213211, 212syl5eqr 2847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧))
214213fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) = (abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)))
215214breq1d 5041 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
216215ralbiia 3132 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
217210, 216syl6rbb 291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
218207, 217syl5ib 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
219218reximdv 3232 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
220205, 219mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
221 bddmulibl 24452 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∘f · (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐿1)
222202, 203, 220, 221syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∘f · (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐿1)
223196, 222eqeltrd 2890 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) ∈ 𝐿1)
2243, 4, 1, 184, 223, 129ftc2 24657 . . 3 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋)))
225 fveq2 6646 . . . . 5 (𝑡 = 𝑥 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡) = ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥))
226 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑥
227 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑥 D
228 nfmpt1 5129 . . . . . . 7 𝑥(𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)
229226, 227, 228nfov 7166 . . . . . 6 𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))
230 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑥𝑡
231229, 230nffv 6656 . . . . 5 𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡)
232 nfcv 2955 . . . . 5 𝑡((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥)
233225, 231, 232cbvitg 24389 . . . 4 ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥) d𝑥
234173fveq1d 6648 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵))‘𝑥))
235 ovex 7169 . . . . . . 7 (𝐸 · 𝐵) ∈ V
236 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵))
237236fvmpt2 6757 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ (𝐸 · 𝐵) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵))‘𝑥) = (𝐸 · 𝐵))
238235, 237mpan2 690 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵))‘𝑥) = (𝐸 · 𝐵))
239234, 238sylan9eq 2853 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥) = (𝐸 · 𝐵))
240239itgeq2dv 24395 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 · 𝐵) d𝑥)
241233, 240syl5eq 2845 . . 3 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 · 𝐵) d𝑥)
24217, 9sseldi 3913 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁))
243 elicc2 12793 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐴𝐴𝑁)))
24443, 40, 243syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐴𝐴𝑁)))
245244adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐴𝐴𝑁)))
246242, 245mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐴𝐴𝑁))
247246simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑀𝐴)
248247ditgpos 24469 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)
249248mpteq2dva 5126 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))
250249fveq1d 6648 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑌) = ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌))
251 ubicc2 12846 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
25291, 92, 1, 251syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
253 itgsubst.l . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝐿)
254 ditgeq2 24462 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐿 → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
255253, 254syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
256 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)
257 ditgex 24465 . . . . . . . 8 ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢 ∈ V
258255, 256, 257fvmpt 6746 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑌) = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
259252, 258syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑌) = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
260250, 259eqtr3d 2835 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌) = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
261249fveq1d 6648 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋))
262 itgsubst.k . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝐾)
263 ditgeq2 24462 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐾 → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
264262, 263syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
265 ditgex 24465 . . . . . . . 8 ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 ∈ V
266264, 256, 265fvmpt 6746 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑋) = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
26794, 266syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑋) = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
268261, 267eqtr3d 2835 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋) = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
269260, 268oveq12d 7154 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋)) = (⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢 − ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢))
270 lbicc2 12845 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
271103, 41, 109, 270syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
272262eleq1d 2874 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
273242ralrimiva 3149 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁))
274272, 273, 94rspcdva 3573 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀[,]𝑁))
275253eleq1d 2874 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
276275, 273, 252rspcdva 3573 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ (𝑀[,]𝑁))
27743, 40, 271, 274, 276, 56, 72ditgsplit 24474 . . . . 5 (𝜑 → ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢 = (⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 + ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢))
278277oveq1d 7151 . . . 4 (𝜑 → (⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢 − ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢) = ((⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 + ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢) − ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢))
27943, 40, 271, 274, 56, 72ditgcl 24471 . . . . 5 (𝜑 → ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
28043, 40, 274, 276, 56, 72ditgcl 24471 . . . . 5 (𝜑 → ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
281279, 280pncan2d 10991 . . . 4 (𝜑 → ((⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 + ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢) − ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢) = ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢)
282269, 278, 2813eqtrd 2837 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋)) = ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢)
283224, 241, 2823eqtr3d 2841 . 2 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 · 𝐵) d𝑥 = ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢)
2842, 283eqtr2d 2834 1 (𝜑 → ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441  ⦋csb 3828   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {cpr 4527   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  dom cdm 5520  ran crn 5521   ↾ cres 5522   ∘ ccom 5524  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ∘f cof 7389  ℂcc 10527  ℝcr 10528   + caddc 10532   · cmul 10534  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862  (,)cioo 12729  [,]cicc 12732  abscabs 14588  TopOpenctopn 16690  topGenctg 16706  ℂfldccnfld 20095  intcnt 21632  –cn→ccncf 23491  volcvol 24077  MblFncmbf 24228  𝐿1cibl 24231  ∫citg 24232  ⨜cdit 24459   D cdv 24476 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-symdif 4169  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-disj 4997  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-ofr 7392  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-omul 8093  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-dju 9317  df-card 9355  df-acn 9358  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ioo 12733  df-ioc 12734  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-mod 13236  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cld 21634  df-ntr 21635  df-cls 21636  df-nei 21713  df-lp 21751  df-perf 21752  df-cn 21842  df-cnp 21843  df-haus 21930  df-cmp 22002  df-tx 22177  df-hmeo 22370  df-fil 22461  df-fm 22553  df-flim 22554  df-flf 22555  df-xms 22937  df-ms 22938  df-tms 22939  df-cncf 23493  df-ovol 24078  df-vol 24079  df-mbf 24233  df-itg1 24234  df-itg2 24235  df-ibl 24236  df-itg 24237  df-0p 24284  df-ditg 24460  df-limc 24479  df-dv 24480 This theorem is referenced by:  itgsubst  24662
 Copyright terms: Public domain W3C validator