MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsubstlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsubstlem 25798
Description: Lemma for itgsubst 25799. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
itgsubst.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
itgsubst.le (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
itgsubst.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ ℝ*)
itgsubst.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ*)
itgsubst.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’(𝑍(,)π‘Š)))
itgsubst.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ (((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) ∩ 𝐿1))
itgsubst.c (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑍(,)π‘Š)–cnβ†’β„‚))
itgsubst.da (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡))
itgsubst.e (𝑒 = 𝐴 β†’ 𝐢 = 𝐸)
itgsubst.k (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝐴 = 𝐾)
itgsubst.l (π‘₯ = π‘Œ β†’ 𝐴 = 𝐿)
itgsubst.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑍(,)π‘Š))
itgsubst.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝑍(,)π‘Š))
itgsubst.cl2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁))
Assertion
Ref Expression
itgsubstlem (πœ‘ β†’ ⨜[𝐾 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒 = ⨜[𝑋 β†’ π‘Œ](𝐸 Β· 𝐡) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   π‘₯,𝑒,𝐾   𝑒,𝑀,π‘₯   πœ‘,𝑒,π‘₯   𝑒,𝑋,π‘₯   𝑒,π‘Œ,π‘₯   𝑒,𝐴   π‘₯,𝐢   𝑒,π‘Š,π‘₯   𝑒,𝐿,π‘₯   𝑒,𝑁,π‘₯   𝑒,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,𝑒)   𝐢(𝑒)   𝐸(π‘₯)

Proof of Theorem itgsubstlem
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑑 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.le . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
21ditgpos 25606 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[𝑋 β†’ π‘Œ](𝐸 Β· 𝐡) dπ‘₯ = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐸 Β· 𝐡) dπ‘₯)
3 itgsubst.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4 itgsubst.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
5 ax-resscn 11170 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
65a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
7 iccssre 13411 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
83, 4, 7syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
9 itgsubst.cl2 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁))
10 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴))
11 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒) = (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒))
12 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 β†’ (𝑀(,)𝑣) = (𝑀(,)𝐴))
13 itgeq1 25523 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀(,)𝑣) = (𝑀(,)𝐴) β†’ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒 = ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝐴 β†’ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒 = ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)
159, 10, 11, 14fmptco 7130 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒) ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒))
169fmpttd 7117 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)⟢(𝑀(,)𝑁))
17 ioossicc 13415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀(,)𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁)
18 itgsubst.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ ℝ*)
19 itgsubst.w . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ*)
20 itgsubst.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑍(,)π‘Š))
21 eliooord 13388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (𝑍(,)π‘Š) β†’ (𝑍 < 𝑀 ∧ 𝑀 < π‘Š))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑍 < 𝑀 ∧ 𝑀 < π‘Š))
2322simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑍 < 𝑀)
24 itgsubst.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝑍(,)π‘Š))
25 eliooord 13388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (𝑍(,)π‘Š) β†’ (𝑍 < 𝑁 ∧ 𝑁 < π‘Š))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑍 < 𝑁 ∧ 𝑁 < π‘Š))
2726simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 < π‘Š)
28 iccssioo 13398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑍 ∈ ℝ* ∧ π‘Š ∈ ℝ*) ∧ (𝑍 < 𝑀 ∧ 𝑁 < π‘Š)) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† (𝑍(,)π‘Š))
2918, 19, 23, 27, 28syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† (𝑍(,)π‘Š))
3017, 29sstrid 3994 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑀(,)𝑁) βŠ† (𝑍(,)π‘Š))
31 ioossre 13390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍(,)π‘Š) βŠ† ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑍(,)π‘Š) βŠ† ℝ)
3332, 5sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑍(,)π‘Š) βŠ† β„‚)
3430, 33sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑀(,)𝑁) βŠ† β„‚)
35 itgsubst.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’(𝑍(,)π‘Š)))
36 cncfcdm 24639 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀(,)𝑁) βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’(𝑍(,)π‘Š))) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’(𝑀(,)𝑁)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)⟢(𝑀(,)𝑁)))
3734, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’(𝑀(,)𝑁)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)⟢(𝑀(,)𝑁)))
3816, 37mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’(𝑀(,)𝑁)))
3917sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁))
4031, 24sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4140rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
4331, 20sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
44 elicc2 13394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≀ 𝑣 ∧ 𝑣 ≀ 𝑁)))
4543, 40, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≀ 𝑣 ∧ 𝑣 ≀ 𝑁)))
4645biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≀ 𝑣 ∧ 𝑣 ≀ 𝑁))
4746simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝑣 ≀ 𝑁)
48 iooss2 13365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ≀ 𝑁) β†’ (𝑀(,)𝑣) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
4942, 47, 48syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ (𝑀(,)𝑣) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
5049sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑣)) β†’ 𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁))
5130sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š))
52 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑍(,)π‘Š)–cnβ†’β„‚))
53 cncff 24634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑍(,)π‘Š)–cnβ†’β„‚) β†’ (𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢):(𝑍(,)π‘Š)βŸΆβ„‚)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢):(𝑍(,)π‘Š)βŸΆβ„‚)
5554fvmptelcdm 7115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5651, 55syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5756adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5850, 57syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑣)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
59 ioombl 25315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀(,)𝑣) ∈ dom vol
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ (𝑀(,)𝑣) ∈ dom vol)
6117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑀(,)𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁))
62 ioombl 25315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀(,)𝑁) ∈ dom vol
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑀(,)𝑁) ∈ dom vol)
6429sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š))
6564, 55syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
6629resmptd 6041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑀[,]𝑁)) = (𝑒 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢))
67 rescncf 24638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀[,]𝑁) βŠ† (𝑍(,)π‘Š) β†’ ((𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑍(,)π‘Š)–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)))
6829, 52, 67sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
6966, 68eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
70 cniccibl 25591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑒 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝑒 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
7143, 40, 69, 70syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
7261, 63, 65, 71iblss 25555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
7449, 60, 57, 73iblss 25555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑣) ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
7558, 74itgcl 25534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒 ∈ β„‚)
7639, 75sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒 ∈ β„‚)
7776fmpttd 7117 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„‚)
7830, 31sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ)
79 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = 𝑒 β†’ ((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘‘) = ((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘’))
80 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑒((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘‘)
81 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑑((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘’)
8279, 80, 81cbvitg 25526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘’) d𝑒
83 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢) = (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)
8483fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘’) = 𝐢)
8550, 58, 84syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑣)) β†’ ((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘’) = 𝐢)
8685itgeq2dv 25532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘’) d𝑒 = ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒)
8782, 86eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒)
8887mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘‘) d𝑑) = (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒))
8988oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘‘) d𝑑)) = (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒)))
90 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘‘) d𝑑) = (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘‘) d𝑑)
913rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
924rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ*)
93 lbicc2 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
9491, 92, 1, 93syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
95 n0i 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) β†’ Β¬ (𝑋[,]π‘Œ) = βˆ…)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑋[,]π‘Œ) = βˆ…)
97 feq3 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀(,)𝑁) = βˆ… β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)⟢(𝑀(,)𝑁) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβˆ…))
9816, 97syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝑀(,)𝑁) = βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβˆ…))
99 f00 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβˆ… ↔ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) = βˆ… ∧ (𝑋[,]π‘Œ) = βˆ…))
10099simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβˆ… β†’ (𝑋[,]π‘Œ) = βˆ…)
10198, 100syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝑀(,)𝑁) = βˆ… β†’ (𝑋[,]π‘Œ) = βˆ…))
10296, 101mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑀(,)𝑁) = βˆ…)
10343rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
104 ioo0 13354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑀(,)𝑁) = βˆ… ↔ 𝑁 ≀ 𝑀))
105103, 41, 104syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((𝑀(,)𝑁) = βˆ… ↔ 𝑁 ≀ 𝑀))
106102, 105mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑁 ≀ 𝑀)
10740, 43letrid 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑁 ≀ 𝑀 ∨ 𝑀 ≀ 𝑁))
108107ord 861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑁 ≀ 𝑀 β†’ 𝑀 ≀ 𝑁))
109106, 108mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
110 resmpt 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀(,)𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁) β†’ ((𝑒 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑀(,)𝑁)) = (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢))
11117, 110ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑀(,)𝑁)) = (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)
112 rescncf 24638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀(,)𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁) β†’ ((𝑒 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑒 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑀(,)𝑁)) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cnβ†’β„‚)))
11317, 69, 112mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) β†Ύ (𝑀(,)𝑁)) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cnβ†’β„‚))
114111, 113eqeltrrid 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cnβ†’β„‚))
11590, 43, 40, 109, 114, 72ftc1cn 25793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)β€˜π‘‘) d𝑑)) = (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢))
11629, 31sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
117 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
118117tgioo2 24540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
119 iccntr 24558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
12043, 40, 119syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
1216, 116, 75, 118, 117, 120dvmptntr 25721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒)) = (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒)))
12289, 115, 1213eqtr3rd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒)) = (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢))
123122dmeqd 5906 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒)) = dom (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢))
12483, 56dmmptd 6696 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢) = (𝑀(,)𝑁))
125123, 124eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒)) = (𝑀(,)𝑁))
126 dvcn 25671 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„‚ ∧ (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒)) = (𝑀(,)𝑁)) β†’ (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cnβ†’β„‚))
1276, 77, 78, 125, 126syl31anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cnβ†’β„‚))
12838, 127cncfco 24648 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒) ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
12915, 128eqeltrrd 2833 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
130 cncff 24634 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
131129, 130syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
132131fvmptelcdm 7115 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒 ∈ β„‚)
133 iccntr 24558 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑋(,)π‘Œ))
1343, 4, 133syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑋(,)π‘Œ))
1356, 8, 132, 118, 117, 134dvmptntr 25721 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)))
136 reelprrecn 11205 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
137136a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
138 ioossicc 13415 . . . . . . . . 9 (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ)
139138sseli 3979 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
140139, 9sylan2 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁))
141 itgsubst.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ (((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) ∩ 𝐿1))
142 elin 3965 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ (((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) ∩ 𝐿1) ↔ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) ∧ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1))
143141, 142sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) ∧ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1))
144143simpld 494 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
145 cncff 24634 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
146144, 145syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡):(𝑋(,)π‘Œ)βŸΆβ„‚)
147146fvmptelcdm 7115 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
14856fmpttd 7117 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„‚)
149 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑣𝐢
150 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑒⦋𝑣 / π‘’β¦ŒπΆ
151 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑣 β†’ 𝐢 = ⦋𝑣 / π‘’β¦ŒπΆ)
152149, 150, 151cbvmpt 5260 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢) = (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑣 / π‘’β¦ŒπΆ)
153152fmpt 7112 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑀(,)𝑁)⦋𝑣 / π‘’β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ (𝑒 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„‚)
154148, 153sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ (𝑀(,)𝑁)⦋𝑣 / π‘’β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
155154r19.21bi 3247 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ ⦋𝑣 / π‘’β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
15631, 5sstri 3992 . . . . . . . . . 10 (𝑍(,)π‘Š) βŠ† β„‚
157 cncff 24634 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’(𝑍(,)π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)⟢(𝑍(,)π‘Š))
15835, 157syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)⟢(𝑍(,)π‘Š))
159158fvmptelcdm 7115 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑍(,)π‘Š))
160156, 159sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1616, 8, 160, 118, 117, 134dvmptntr 25721 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴)))
162 itgsubst.da . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡))
163161, 162eqtr3d 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡))
164122, 152eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐢 d𝑒)) = (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑣 / π‘’β¦ŒπΆ))
165 csbeq1 3897 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 β†’ ⦋𝑣 / π‘’β¦ŒπΆ = ⦋𝐴 / π‘’β¦ŒπΆ)
166137, 137, 140, 147, 76, 155, 163, 164, 14, 165dvmptco 25722 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (⦋𝐴 / π‘’β¦ŒπΆ Β· 𝐡)))
167 nfcvd 2903 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ Ⅎ𝑒𝐸)
168 itgsubst.e . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝐴 β†’ 𝐢 = 𝐸)
169167, 168csbiegf 3928 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ ⦋𝐴 / π‘’β¦ŒπΆ = 𝐸)
170140, 169syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ⦋𝐴 / π‘’β¦ŒπΆ = 𝐸)
171170oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (⦋𝐴 / π‘’β¦ŒπΆ Β· 𝐡) = (𝐸 Β· 𝐡))
172171mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (⦋𝐴 / π‘’β¦ŒπΆ Β· 𝐡)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐸 Β· 𝐡)))
173135, 166, 1723eqtrd 2775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐸 Β· 𝐡)))
174 resmpt 6038 . . . . . . . 8 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸))
175138, 174ax-mp 5 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)
176 eqidd 2732 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢) = (𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢))
177159, 10, 176, 168fmptco 7130 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢) ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸))
17835, 52cncfco 24648 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢) ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
179177, 178eqeltrrd 2833 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
180 rescncf 24638 . . . . . . . 8 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚)))
181138, 179, 180mpsyl 68 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
182175, 181eqeltrrid 2837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
183182, 144mulcncf 25195 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐸 Β· 𝐡)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
184173, 183eqeltrd 2832 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)) ∈ ((𝑋(,)π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
185 ioombl 25315 . . . . . . . 8 (𝑋(,)π‘Œ) ∈ dom vol
186185a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) ∈ dom vol)
187 fco 6742 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢):(𝑍(,)π‘Š)βŸΆβ„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴):(𝑋[,]π‘Œ)⟢(𝑍(,)π‘Š)) β†’ ((𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢) ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
18854, 158, 187syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢) ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
189177feq1d 6703 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝑒 ∈ (𝑍(,)π‘Š) ↦ 𝐢) ∘ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐴)):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚))
190188, 189mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸):(𝑋[,]π‘Œ)βŸΆβ„‚)
191190fvmptelcdm 7115 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
192139, 191sylan2 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
193 eqidd 2732 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸))
194 eqidd 2732 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡))
195186, 192, 147, 193, 194offval2 7693 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐸 Β· 𝐡)))
196173, 195eqtr4d 2774 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)) = ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡)))
197138a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ))
198 cniccibl 25591 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
1993, 4, 179, 198syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
200197, 186, 191, 199iblss 25555 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
201 iblmbf 25518 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸) ∈ MblFn)
202200, 201syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸) ∈ MblFn)
203143simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
204 cniccbdd 25211 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
2053, 4, 179, 204syl3anc 1370 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
206 ssralv 4051 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦 β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
207138, 206ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦 β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
208 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)
209208, 192dmmptd 6696 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸) = (𝑋(,)π‘Œ))
210209raleqdv 3324 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ dom (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
211175fveq1i 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ))β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)
212 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸) β†Ύ (𝑋(,)π‘Œ))β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§))
213211, 212eqtr3id 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§))
214213fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) β†’ (absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) = (absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)))
215214breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) β†’ ((absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦 ↔ (absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
216215ralbiia 3090 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
217210, 216bitr2di 287 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘§ ∈ dom (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
218207, 217imbitrid 243 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦 β†’ βˆ€π‘§ ∈ dom (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
219218reximdv 3169 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
220205, 219mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦)
221 bddmulibl 25589 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)(absβ€˜((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸)β€˜π‘§)) ≀ 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡)) ∈ 𝐿1)
222202, 203, 220, 221syl3anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐸) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝐡)) ∈ 𝐿1)
223196, 222eqeltrd 2832 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)) ∈ 𝐿1)
2243, 4, 1, 184, 223, 129ftc2 25794 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒))β€˜π‘‘) d𝑑 = (((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)β€˜π‘‹)))
225 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒))β€˜π‘‘) = ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒))β€˜π‘₯))
226 nfcv 2902 . . . . . . 7 β„²π‘₯ℝ
227 nfcv 2902 . . . . . . 7 β„²π‘₯ D
228 nfmpt1 5257 . . . . . . 7 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)
229226, 227, 228nfov 7442 . . . . . 6 β„²π‘₯(ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒))
230 nfcv 2902 . . . . . 6 β„²π‘₯𝑑
231229, 230nffv 6902 . . . . 5 β„²π‘₯((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒))β€˜π‘‘)
232 nfcv 2902 . . . . 5 Ⅎ𝑑((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒))β€˜π‘₯)
233225, 231, 232cbvitg 25526 . . . 4 ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒))β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒))β€˜π‘₯) dπ‘₯
234173fveq1d 6894 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒))β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐸 Β· 𝐡))β€˜π‘₯))
235 ovex 7445 . . . . . . 7 (𝐸 Β· 𝐡) ∈ V
236 eqid 2731 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐸 Β· 𝐡)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐸 Β· 𝐡))
237236fvmpt2 7010 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ∧ (𝐸 Β· 𝐡) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐸 Β· 𝐡))β€˜π‘₯) = (𝐸 Β· 𝐡))
238235, 237mpan2 688 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (𝐸 Β· 𝐡))β€˜π‘₯) = (𝐸 Β· 𝐡))
239234, 238sylan9eq 2791 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒))β€˜π‘₯) = (𝐸 Β· 𝐡))
240239itgeq2dv 25532 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐸 Β· 𝐡) dπ‘₯)
241233, 240eqtrid 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒))β€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐸 Β· 𝐡) dπ‘₯)
24217, 9sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁))
243 elicc2 13394 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑁)))
24443, 40, 243syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑁)))
245244adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑁)))
246242, 245mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑁))
247246simp2d 1142 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝑀 ≀ 𝐴)
248247ditgpos 25606 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ ⨜[𝑀 β†’ 𝐴]𝐢 d𝑒 = ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)
249248mpteq2dva 5249 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ⨜[𝑀 β†’ 𝐴]𝐢 d𝑒) = (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒))
250249fveq1d 6894 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ⨜[𝑀 β†’ 𝐴]𝐢 d𝑒)β€˜π‘Œ) = ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)β€˜π‘Œ))
251 ubicc2 13447 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
25291, 92, 1, 251syl3anc 1370 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
253 itgsubst.l . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘Œ β†’ 𝐴 = 𝐿)
254 ditgeq2 25599 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐿 β†’ ⨜[𝑀 β†’ 𝐴]𝐢 d𝑒 = ⨜[𝑀 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒)
255253, 254syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘Œ β†’ ⨜[𝑀 β†’ 𝐴]𝐢 d𝑒 = ⨜[𝑀 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒)
256 eqid 2731 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ⨜[𝑀 β†’ 𝐴]𝐢 d𝑒) = (π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ⨜[𝑀 β†’ 𝐴]𝐢 d𝑒)
257 ditgex 25602 . . . . . . . 8 ⨜[𝑀 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒 ∈ V
258255, 256, 257fvmpt 6999 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ⨜[𝑀 β†’ 𝐴]𝐢 d𝑒)β€˜π‘Œ) = ⨜[𝑀 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒)
259252, 258syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ⨜[𝑀 β†’ 𝐴]𝐢 d𝑒)β€˜π‘Œ) = ⨜[𝑀 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒)
260250, 259eqtr3d 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)β€˜π‘Œ) = ⨜[𝑀 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒)
261249fveq1d 6894 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ⨜[𝑀 β†’ 𝐴]𝐢 d𝑒)β€˜π‘‹) = ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)β€˜π‘‹))
262 itgsubst.k . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝐴 = 𝐾)
263 ditgeq2 25599 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐾 β†’ ⨜[𝑀 β†’ 𝐴]𝐢 d𝑒 = ⨜[𝑀 β†’ 𝐾]𝐢 d𝑒)
264262, 263syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ⨜[𝑀 β†’ 𝐴]𝐢 d𝑒 = ⨜[𝑀 β†’ 𝐾]𝐢 d𝑒)
265 ditgex 25602 . . . . . . . 8 ⨜[𝑀 β†’ 𝐾]𝐢 d𝑒 ∈ V
266264, 256, 265fvmpt 6999 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ⨜[𝑀 β†’ 𝐴]𝐢 d𝑒)β€˜π‘‹) = ⨜[𝑀 β†’ 𝐾]𝐢 d𝑒)
26794, 266syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ⨜[𝑀 β†’ 𝐴]𝐢 d𝑒)β€˜π‘‹) = ⨜[𝑀 β†’ 𝐾]𝐢 d𝑒)
268261, 267eqtr3d 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)β€˜π‘‹) = ⨜[𝑀 β†’ 𝐾]𝐢 d𝑒)
269260, 268oveq12d 7430 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)β€˜π‘‹)) = (⨜[𝑀 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒 βˆ’ ⨜[𝑀 β†’ 𝐾]𝐢 d𝑒))
270 lbicc2 13446 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
271103, 41, 109, 270syl3anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
272262eleq1d 2817 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
273242ralrimiva 3145 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁))
274272, 273, 94rspcdva 3614 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝑀[,]𝑁))
275253eleq1d 2817 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
276275, 273, 252rspcdva 3614 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝑀[,]𝑁))
27743, 40, 271, 274, 276, 56, 72ditgsplit 25611 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⨜[𝑀 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒 = (⨜[𝑀 β†’ 𝐾]𝐢 d𝑒 + ⨜[𝐾 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒))
278277oveq1d 7427 . . . 4 (πœ‘ β†’ (⨜[𝑀 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒 βˆ’ ⨜[𝑀 β†’ 𝐾]𝐢 d𝑒) = ((⨜[𝑀 β†’ 𝐾]𝐢 d𝑒 + ⨜[𝐾 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒) βˆ’ ⨜[𝑀 β†’ 𝐾]𝐢 d𝑒))
27943, 40, 271, 274, 56, 72ditgcl 25608 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⨜[𝑀 β†’ 𝐾]𝐢 d𝑒 ∈ β„‚)
28043, 40, 274, 276, 56, 72ditgcl 25608 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐾 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒 ∈ β„‚)
281279, 280pncan2d 11578 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((⨜[𝑀 β†’ 𝐾]𝐢 d𝑒 + ⨜[𝐾 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒) βˆ’ ⨜[𝑀 β†’ 𝐾]𝐢 d𝑒) = ⨜[𝐾 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒)
282269, 278, 2813eqtrd 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐢 d𝑒)β€˜π‘‹)) = ⨜[𝐾 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒)
283224, 241, 2823eqtr3d 2779 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(𝐸 Β· 𝐡) dπ‘₯ = ⨜[𝐾 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒)
2842, 283eqtr2d 2772 1 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐾 β†’ 𝐿]𝐢 d𝑒 = ⨜[𝑋 β†’ π‘Œ](𝐸 Β· 𝐡) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473  β¦‹csb 3894   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∘f cof 7671  β„‚cc 11111  β„cr 11112   + caddc 11116   Β· cmul 11118  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  abscabs 15186  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  β„‚fldccnfld 21145  intcnt 22742  β€“cnβ†’ccncf 24617  volcvol 25213  MblFncmbf 25364  πΏ1cibl 25367  βˆ«citg 25368  β¨œcdit 25596   D cdv 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-itg 25373  df-0p 25420  df-ditg 25597  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  itgsubst  25799
  Copyright terms: Public domain W3C validator