MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsubstlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsubstlem 25412
Description: Lemma for itgsubst 25413. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
itgsubst.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
itgsubst.le (𝜑𝑋𝑌)
itgsubst.z (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
itgsubst.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ*)
itgsubst.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑍(,)𝑊)))
itgsubst.b (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
itgsubst.c (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑍(,)𝑊)–cn→ℂ))
itgsubst.da (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
itgsubst.e (𝑢 = 𝐴𝐶 = 𝐸)
itgsubst.k (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝐾)
itgsubst.l (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝐿)
itgsubst.m (𝜑𝑀 ∈ (𝑍(,)𝑊))
itgsubst.n (𝜑𝑁 ∈ (𝑍(,)𝑊))
itgsubst.cl2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁))
Assertion
Ref Expression
itgsubstlem (𝜑 → ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐸   𝑥,𝑢,𝐾   𝑢,𝑀,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥   𝑢,𝑋,𝑥   𝑢,𝑌,𝑥   𝑢,𝐴   𝑥,𝐶   𝑢,𝑊,𝑥   𝑢,𝐿,𝑥   𝑢,𝑁,𝑥   𝑢,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐶(𝑢)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem itgsubstlem
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑡 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.le . . 3 (𝜑𝑋𝑌)
21ditgpos 25220 . 2 (𝜑 → ⨜[𝑋𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 · 𝐵) d𝑥)
3 itgsubst.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4 itgsubst.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
5 ax-resscn 11108 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
7 iccssre 13346 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
83, 4, 7syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
9 itgsubst.cl2 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁))
10 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴))
11 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) = (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢))
12 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 → (𝑀(,)𝑣) = (𝑀(,)𝐴))
13 itgeq1 25137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀(,)𝑣) = (𝑀(,)𝐴) → ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢 = ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝐴 → ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢 = ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)
159, 10, 11, 14fmptco 7075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))
169fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑀(,)𝑁))
17 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
18 itgsubst.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
19 itgsubst.w . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ ℝ*)
20 itgsubst.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (𝑍(,)𝑊))
21 eliooord 13323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (𝑍(,)𝑊) → (𝑍 < 𝑀𝑀 < 𝑊))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑍 < 𝑀𝑀 < 𝑊))
2322simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑍 < 𝑀)
24 itgsubst.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ (𝑍(,)𝑊))
25 eliooord 13323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (𝑍(,)𝑊) → (𝑍 < 𝑁𝑁 < 𝑊))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑍 < 𝑁𝑁 < 𝑊))
2726simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 < 𝑊)
28 iccssioo 13333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑍 ∈ ℝ*𝑊 ∈ ℝ*) ∧ (𝑍 < 𝑀𝑁 < 𝑊)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝑍(,)𝑊))
2918, 19, 23, 27, 28syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝑍(,)𝑊))
3017, 29sstrid 3955 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑍(,)𝑊))
31 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍(,)𝑊) ⊆ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍(,)𝑊) ⊆ ℝ)
3332, 5sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍(,)𝑊) ⊆ ℂ)
3430, 33sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ)
35 itgsubst.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑍(,)𝑊)))
36 cncfcdm 24261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑍(,)𝑊))) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑀(,)𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑀(,)𝑁)))
3734, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑀(,)𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑀(,)𝑁)))
3816, 37mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑀(,)𝑁)))
3917sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁))
4031, 24sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
4140rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
4331, 20sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
44 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑣𝑣𝑁)))
4543, 40, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑣𝑣𝑁)))
4645biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑣𝑣𝑁))
4746simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑣𝑁)
48 iooss2 13300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℝ*𝑣𝑁) → (𝑀(,)𝑣) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
4942, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑀(,)𝑣) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
5049sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑣)) → 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁))
5130sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊))
52 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑍(,)𝑊)–cn→ℂ))
53 cncff 24256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑍(,)𝑊)–cn→ℂ) → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶):(𝑍(,)𝑊)⟶ℂ)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶):(𝑍(,)𝑊)⟶ℂ)
5554fvmptelcdm 7061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5651, 55syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5756adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5850, 57syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑣)) → 𝐶 ∈ ℂ)
59 ioombl 24929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀(,)𝑣) ∈ dom vol
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑀(,)𝑣) ∈ dom vol)
6117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
62 ioombl 24929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀(,)𝑁) ∈ dom vol
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ∈ dom vol)
6429sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊))
6564, 55syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6629resmptd 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀[,]𝑁)) = (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶))
67 rescncf 24260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝑍(,)𝑊) → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑍(,)𝑊)–cn→ℂ) → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ)))
6829, 52, 67sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
6966, 68eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
70 cniccibl 25205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7143, 40, 69, 70syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7261, 63, 65, 71iblss 25169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7449, 60, 57, 73iblss 25169 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑣) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7558, 74itgcl 25148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
7639, 75sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
7776fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢):(𝑀(,)𝑁)⟶ℂ)
7830, 31sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ)
79 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 = 𝑢 → ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) = ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢))
80 nffvmpt1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑢((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡)
81 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑡((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢)
8279, 80, 81cbvitg 25140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢) d𝑢
83 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)
8483fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢) = 𝐶)
8550, 58, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑣)) → ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢) = 𝐶)
8685itgeq2dv 25146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢) d𝑢 = ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)
8782, 86eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)
8887mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡) = (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢))
8988oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡)) = (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)))
90 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡) = (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡)
913rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
924rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
93 lbicc2 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9491, 92, 1, 93syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
95 n0i 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) → ¬ (𝑋[,]𝑌) = ∅)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ (𝑋[,]𝑌) = ∅)
97 feq3 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀(,)𝑁) = ∅ → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑀(,)𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶∅))
9816, 97syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑀(,)𝑁) = ∅ → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶∅))
99 f00 6724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶∅ ↔ ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = ∅ ∧ (𝑋[,]𝑌) = ∅))
10099simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶∅ → (𝑋[,]𝑌) = ∅)
10198, 100syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑀(,)𝑁) = ∅ → (𝑋[,]𝑌) = ∅))
10296, 101mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ¬ (𝑀(,)𝑁) = ∅)
10343rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
104 ioo0 13289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → ((𝑀(,)𝑁) = ∅ ↔ 𝑁𝑀))
105103, 41, 104syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑀(,)𝑁) = ∅ ↔ 𝑁𝑀))
106102, 105mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ 𝑁𝑀)
10740, 43letrid 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑁𝑀𝑀𝑁))
108107ord 862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (¬ 𝑁𝑀𝑀𝑁))
109106, 108mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀𝑁)
110 resmpt 5991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀(,)𝑁)) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))
11117, 110ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀(,)𝑁)) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)
112 rescncf 24260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ) → ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀(,)𝑁)) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ)))
11317, 69, 112mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀(,)𝑁)) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ))
114111, 113eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ))
11590, 43, 40, 109, 114, 72ftc1cn 25407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡)) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))
11629, 31sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
117 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
118117tgioo2 24166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
119 iccntr 24184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
12043, 40, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
1216, 116, 75, 118, 117, 120dvmptntr 25335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)))
12289, 115, 1213eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))
123122dmeqd 5861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = dom (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))
12483, 56dmmptd 6646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑀(,)𝑁))
125123, 124eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (𝑀(,)𝑁))
126 dvcn 25285 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢):(𝑀(,)𝑁)⟶ℂ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (𝑀(,)𝑁)) → (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ))
1276, 77, 78, 125, 126syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ))
12838, 127cncfco 24270 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
12915, 128eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
130 cncff 24256 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
131129, 130syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
132131fvmptelcdm 7061 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
133 iccntr 24184 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
1343, 4, 133syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
1356, 8, 132, 118, 117, 134dvmptntr 25335 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)))
136 reelprrecn 11143 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
137136a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
138 ioossicc 13350 . . . . . . . . 9 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
139138sseli 3940 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌))
140139, 9sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁))
141 itgsubst.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
142 elin 3926 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1) ↔ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1))
143141, 142sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1))
144143simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
145 cncff 24256 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
146144, 145syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
147146fvmptelcdm 7061 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14856fmpttd 7063 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℂ)
149 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑣𝐶
150 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . 11 𝑢𝑣 / 𝑢𝐶
151 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑣𝐶 = 𝑣 / 𝑢𝐶)
152149, 150, 151cbvmpt 5216 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑣 / 𝑢𝐶)
153152fmpt 7058 . . . . . . . . 9 (∀𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝑣 / 𝑢𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℂ)
154148, 153sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝑣 / 𝑢𝐶 ∈ ℂ)
155154r19.21bi 3234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑣 / 𝑢𝐶 ∈ ℂ)
15631, 5sstri 3953 . . . . . . . . . 10 (𝑍(,)𝑊) ⊆ ℂ
157 cncff 24256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑍(,)𝑊)) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑍(,)𝑊))
15835, 157syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑍(,)𝑊))
159158fvmptelcdm 7061 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑍(,)𝑊))
160156, 159sselid 3942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1616, 8, 160, 118, 117, 134dvmptntr 25335 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)))
162 itgsubst.da . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
163161, 162eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
164122, 152eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑣 / 𝑢𝐶))
165 csbeq1 3858 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴𝑣 / 𝑢𝐶 = 𝐴 / 𝑢𝐶)
166137, 137, 140, 147, 76, 155, 163, 164, 14, 165dvmptco 25336 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 / 𝑢𝐶 · 𝐵)))
167 nfcvd 2908 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑢𝐸)
168 itgsubst.e . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝐴𝐶 = 𝐸)
169167, 168csbiegf 3889 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝐴 / 𝑢𝐶 = 𝐸)
170140, 169syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐴 / 𝑢𝐶 = 𝐸)
171170oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐴 / 𝑢𝐶 · 𝐵) = (𝐸 · 𝐵))
172171mpteq2dva 5205 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 / 𝑢𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)))
173135, 166, 1723eqtrd 2780 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)))
174 resmpt 5991 . . . . . . . 8 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸))
175138, 174ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
176 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶))
177159, 10, 176, 168fmptco 7075 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸))
17835, 52cncfco 24270 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
179177, 178eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
180 rescncf 24260 . . . . . . . 8 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
181138, 179, 180mpsyl 68 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
182175, 181eqeltrrid 2843 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
183182, 144mulcncf 24810 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
184173, 183eqeltrd 2838 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
185 ioombl 24929 . . . . . . . 8 (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
186185a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
187 fco 6692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶):(𝑍(,)𝑊)⟶ℂ ∧ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑍(,)𝑊)) → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
18854, 158, 187syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
189177feq1d 6653 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ))
190188, 189mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
191190fvmptelcdm 7061 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐸 ∈ ℂ)
192139, 191sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℂ)
193 eqidd 2737 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸))
194 eqidd 2737 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
195186, 192, 147, 193, 194offval2 7637 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∘f · (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)))
196173, 195eqtr4d 2779 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∘f · (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)))
197138a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
198 cniccibl 25205 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
1993, 4, 179, 198syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
200197, 186, 191, 199iblss 25169 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
201 iblmbf 25132 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ MblFn)
202200, 201syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ MblFn)
203143simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
204 cniccbdd 24825 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
2053, 4, 179, 204syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
206 ssralv 4010 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
207138, 206ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
208 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
209208, 192dmmptd 6646 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) = (𝑋(,)𝑌))
210209raleqdv 3313 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
211175fveq1i 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)
212 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧))
213211, 212eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧))
214213fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) = (abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)))
215214breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
216215ralbiia 3094 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
217210, 216bitr2di 287 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
218207, 217imbitrid 243 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
219218reximdv 3167 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
220205, 219mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
221 bddmulibl 25203 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∘f · (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐿1)
222202, 203, 220, 221syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∘f · (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐿1)
223196, 222eqeltrd 2838 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) ∈ 𝐿1)
2243, 4, 1, 184, 223, 129ftc2 25408 . . 3 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋)))
225 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑡 = 𝑥 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡) = ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥))
226 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥
227 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥 D
228 nfmpt1 5213 . . . . . . 7 𝑥(𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)
229226, 227, 228nfov 7387 . . . . . 6 𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))
230 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥𝑡
231229, 230nffv 6852 . . . . 5 𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡)
232 nfcv 2907 . . . . 5 𝑡((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥)
233225, 231, 232cbvitg 25140 . . . 4 ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥) d𝑥
234173fveq1d 6844 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵))‘𝑥))
235 ovex 7390 . . . . . . 7 (𝐸 · 𝐵) ∈ V
236 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵))
237236fvmpt2 6959 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ (𝐸 · 𝐵) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵))‘𝑥) = (𝐸 · 𝐵))
238235, 237mpan2 689 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵))‘𝑥) = (𝐸 · 𝐵))
239234, 238sylan9eq 2796 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥) = (𝐸 · 𝐵))
240239itgeq2dv 25146 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 · 𝐵) d𝑥)
241233, 240eqtrid 2788 . . 3 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 · 𝐵) d𝑥)
24217, 9sselid 3942 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁))
243 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐴𝐴𝑁)))
24443, 40, 243syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐴𝐴𝑁)))
245244adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐴𝐴𝑁)))
246242, 245mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐴𝐴𝑁))
247246simp2d 1143 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑀𝐴)
248247ditgpos 25220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)
249248mpteq2dva 5205 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))
250249fveq1d 6844 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑌) = ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌))
251 ubicc2 13382 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
25291, 92, 1, 251syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
253 itgsubst.l . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝐿)
254 ditgeq2 25213 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐿 → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
255253, 254syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
256 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)
257 ditgex 25216 . . . . . . . 8 ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢 ∈ V
258255, 256, 257fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑌) = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
259252, 258syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑌) = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
260250, 259eqtr3d 2778 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌) = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
261249fveq1d 6844 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋))
262 itgsubst.k . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝐾)
263 ditgeq2 25213 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐾 → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
264262, 263syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
265 ditgex 25216 . . . . . . . 8 ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 ∈ V
266264, 256, 265fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑋) = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
26794, 266syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑋) = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
268261, 267eqtr3d 2778 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋) = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
269260, 268oveq12d 7375 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋)) = (⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢 − ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢))
270 lbicc2 13381 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
271103, 41, 109, 270syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
272262eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
273242ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁))
274272, 273, 94rspcdva 3582 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀[,]𝑁))
275253eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
276275, 273, 252rspcdva 3582 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ (𝑀[,]𝑁))
27743, 40, 271, 274, 276, 56, 72ditgsplit 25225 . . . . 5 (𝜑 → ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢 = (⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 + ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢))
278277oveq1d 7372 . . . 4 (𝜑 → (⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢 − ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢) = ((⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 + ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢) − ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢))
27943, 40, 271, 274, 56, 72ditgcl 25222 . . . . 5 (𝜑 → ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
28043, 40, 274, 276, 56, 72ditgcl 25222 . . . . 5 (𝜑 → ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
281279, 280pncan2d 11514 . . . 4 (𝜑 → ((⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 + ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢) − ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢) = ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢)
282269, 278, 2813eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋)) = ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢)
283224, 241, 2823eqtr3d 2784 . 2 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 · 𝐵) d𝑥 = ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢)
2842, 283eqtr2d 2777 1 (𝜑 → ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  csb 3855  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  cc 11049  cr 11050   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  abscabs 15119  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  intcnt 22368  cnccncf 24239  volcvol 24827  MblFncmbf 24978  𝐿1cibl 24981  citg 24982  cdit 25210   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-ditg 25211  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  itgsubst  25413
  Copyright terms: Public domain W3C validator