Theorem itgex 24668

Description: An integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgex	⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ V

Proof of Theorem itgex

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-itg 24520	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))))
2		sumex 15251	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)))) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2834	1 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408  ⦋csb 3811  ifcif 4439   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  0cc0 10729  ici 10731   · cmul 10734   ≤ cle 10868   / cdiv 11489  3c3 11886  ...cfz 13095  ↑cexp 13635  ℜcre 14660  Σcsu 15249  ∫₂citg2 24513  ∫citg 24515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-nul 5199

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3066  df-rex 3067  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-sn 4542  df-pr 4544  df-uni 4820  df-iota 6338  df-sum 15250  df-itg 24520

This theorem is referenced by:  ditgex  24749  ftc1lem1  24932  itgulm  25300  dmarea  25840  dfarea  25843  areaval  25847  ftc1anc  35595  itgsinexp  43171  wallispilem1  43281  wallispilem2  43282