Theorem itgex 24064

Description: An integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgex	⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ V

Proof of Theorem itgex

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-itg 23917	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))))
2		sumex 14895	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)))) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2856	1 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 387   ∈ wcel 2048  Vcvv 3409  ⦋csb 3782  ifcif 4344   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℝcr 10326  0cc0 10327  ici 10329   · cmul 10332   ≤ cle 10467   / cdiv 11090  3c3 11489  ...cfz 12701  ↑cexp 13237  ℜcre 14307  Σcsu 14893  ∫₂citg2 23910  ∫citg 23912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-ext 2745  ax-nul 5061

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ral 3087  df-rex 3088  df-v 3411  df-sbc 3678  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-sn 4436  df-pr 4438  df-uni 4707  df-iota 6146  df-sum 14894  df-itg 23917

This theorem is referenced by:  ditgex  24143  ftc1lem1  24325  itgulm  24689  dmarea  25227  dfarea  25230  areaval  25234  ftc1anc  34364  itgsinexp  41616  wallispilem1  41727  wallispilem2  41728