Theorem itgex 25966

Description: An integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgex	⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ V

Proof of Theorem itgex

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-itg 25819	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))))
2		sumex 15765	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)))) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2862	1 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ⦋csb 3856  ifcif 4492   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  ici 11120   · cmul 11123   ≤ cle 11262   / cdiv 11889  3c3 12314  ...cfz 13553  ↑cexp 14117  ℜcre 15174  Σcsu 15763  ∫₂citg2 25812  ∫citg 25814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-nul 5274

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-ss 3925  df-nul 4290  df-sn 4595  df-pr 4597  df-uni 4878  df-iota 6499  df-sum 15764  df-itg 25819

This theorem is used by:  ditgex  26048  ftc1lem1  26231  itgulm  26608  dmarea  27159  dfarea  27162  areaval  27166  ftc1anc  38393  itgsinexp  46710  wallispilem1  46820  wallispilem2  46821