MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgex 25138
Description: An integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgex โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ โˆˆ V

Proof of Theorem itgex
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-itg 24990 . 2 โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))))
2 sumex 15573 . 2 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0)))) โˆˆ V
31, 2eqeltri 2834 1 โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ โˆˆ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3446  โฆ‹csb 3856  ifcif 4487   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11051  0cc0 11052  ici 11054   ยท cmul 11057   โ‰ค cle 11191   / cdiv 11813  3c3 12210  ...cfz 13425  โ†‘cexp 13968  โ„œcre 14983  ฮฃcsu 15571  โˆซ2citg2 24983  โˆซcitg 24985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-nul 5264
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-sn 4588  df-pr 4590  df-uni 4867  df-iota 6449  df-sum 15572  df-itg 24990
This theorem is referenced by:  ditgex  25219  ftc1lem1  25402  itgulm  25770  dmarea  26310  dfarea  26313  areaval  26317  ftc1anc  36162  itgsinexp  44203  wallispilem1  44313  wallispilem2  44314
  Copyright terms: Public domain W3C validator