HomeHome Metamath Proof Explorer
Theorem List (p. 254 of 479)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  MPE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Color key:    Metamath Proof Explorer  Metamath Proof Explorer
(1-30166)
  Hilbert Space Explorer  Hilbert Space Explorer
(30167-31689)
  Users' Mathboxes  Users' Mathboxes
(31690-47842)
 

Theorem List for Metamath Proof Explorer - 25301-25400   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremitgvallem 25301* Substitution lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
(iโ†‘๐พ) = ๐‘‡    โ‡’   (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / ๐‘‡))), (โ„œโ€˜(๐ต / ๐‘‡)), 0))))
 
Theoremitgvallem3 25302* Lemma for itgposval 25312 and itgreval 25313. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต = 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต), ๐ต, 0))) = 0)
 
Theoremibl0 25303 The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 25334, this does not require ๐ด to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
(๐ด โˆˆ dom vol โ†’ (๐ด ร— {0}) โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theoremiblcnlem1 25304* Lemma for iblcnlem 25305. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
๐‘… = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต)), (โ„œโ€˜๐ต), 0)))    &   ๐‘† = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต)), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)))    &   ๐‘‡ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต)), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)))    &   ๐‘ˆ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต)), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ˆ โˆˆ โ„))))
 
Theoremiblcnlem 25305* Expand out the universal quantifier in isibl2 25283. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
๐‘… = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต)), (โ„œโ€˜๐ต), 0)))    &   ๐‘† = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต)), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)))    &   ๐‘‡ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต)), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)))    &   ๐‘ˆ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต)), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ˆ โˆˆ โ„))))
 
Theoremitgcnlem 25306* Expand out the sum in dfitg 25286. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
๐‘… = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต)), (โ„œโ€˜๐ต), 0)))    &   ๐‘† = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต)), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)))    &   ๐‘‡ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต)), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)))    &   ๐‘ˆ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต)), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = ((๐‘… โˆ’ ๐‘†) + (i ยท (๐‘‡ โˆ’ ๐‘ˆ))))
 
Theoremiblrelem 25307* Integrability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต), ๐ต, 0))) โˆˆ โ„ โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต), -๐ต, 0))) โˆˆ โ„)))
 
Theoremiblposlem 25308* Lemma for iblpos 25309. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต), -๐ต, 0))) = 0)
 
Theoremiblpos 25309* Integrability of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„)))
 
Theoremiblre 25310* Integrability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0)) โˆˆ ๐ฟ1)))
 
Theoremitgrevallem1 25311* Lemma for itgposval 25312 and itgreval 25313. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต), ๐ต, 0))) โˆ’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต), -๐ต, 0)))))
 
Theoremitgposval 25312* The integral of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
 
Theoremitgreval 25313* Decompose the integral of a real function into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค ๐ต, ๐ต, 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -๐ต, -๐ต, 0) d๐‘ฅ))
 
Theoremitgrecl 25314* Real closure of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ โˆˆ โ„)
 
Theoremiblcn 25315* Integrability of a complex function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
 
Theoremitgcnval 25316* Decompose the integral of a complex function into real and imaginary parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
 
Theoremitgre 25317* Real part of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
 
Theoremitgim 25318* Imaginary part of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
 
Theoremiblneg 25319* The negative of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ -๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theoremitgneg 25320* Negation of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = โˆซ๐ด-๐ต d๐‘ฅ)
 
Theoremiblss 25321* A subset of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ dom vol)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theoremiblss2 25322* Change the domain of an integrability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ dom vol)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = 0)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theoremitgitg2 25323* Transfer an integral using โˆซ2 to an equivalent integral using โˆซ. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซโ„๐ด d๐‘ฅ = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐ด)))
 
Theoremi1fibl 25324 A simple function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
(๐น โˆˆ dom โˆซ1 โ†’ ๐น โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theoremitgitg1 25325* Transfer an integral using โˆซ1 to an equivalent integral using โˆซ. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
(๐น โˆˆ dom โˆซ1 โ†’ โˆซโ„(๐นโ€˜๐‘ฅ) d๐‘ฅ = (โˆซ1โ€˜๐น))
 
Theoremitgle 25326* Monotonicity of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ โ‰ค โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ)
 
Theoremitgge0 25327* The integral of a positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)
 
Theoremitgss 25328* Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ)
 
Theoremitgss2 25329* Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
(๐ด โŠ† ๐ต โ†’ โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ตif(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 0) d๐‘ฅ)
 
Theoremitgeqa 25330* Approximate equality of integrals. If ๐ถ(๐‘ฅ) = ๐ท(๐‘ฅ) for almost all ๐‘ฅ, then โˆซ๐ต๐ถ(๐‘ฅ) d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ท(๐‘ฅ) d๐‘ฅ and one is integrable iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) = 0)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ด)) โ†’ ๐ถ = ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1) โˆง โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ท d๐‘ฅ))
 
Theoremitgss3 25331* Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜(๐ต โˆ– ๐ด)) = 0)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1) โˆง โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ))
 
Theoremitgioo 25332* Equality of integrals on open and closed intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ(๐ด(,)๐ต)๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ(๐ด[,]๐ต)๐ถ d๐‘ฅ)
 
Theoremitgless 25333* Expand the integral of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ dom vol)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ โ‰ค โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ)
 
Theoremiblconst 25334 A constant function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐ต}) โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theoremitgconst 25335* Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
 
Theoremibladdlem 25336* Lemma for ibladd 25337. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ท = (๐ต + ๐ถ))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ MblFn)    &   (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต), ๐ต, 0))) โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ), ๐ถ, 0))) โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ท), ๐ท, 0))) โˆˆ โ„)
 
Theoremibladd 25337* Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต + ๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theoremiblsub 25338* Subtract two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theoremitgaddlem1 25339* Lemma for itgadd 25341. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ + โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ))
 
Theoremitgaddlem2 25340* Lemma for itgadd 25341. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ + โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ))
 
Theoremitgadd 25341* Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ + โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ))
 
Theoremitgsub 25342* Subtract two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ต โˆ’ ๐ถ) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ))
 
Theoremitgfsum 25343* Take a finite sum of integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ dom vol)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง โˆซ๐ดฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ))
 
Theoremiblabslem 25344* Lemma for iblabs 25345. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (absโ€˜(๐นโ€˜๐ต)), 0))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐นโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ MblFn โˆง (โˆซ2โ€˜๐บ) โˆˆ โ„))
 
Theoremiblabs 25345* The absolute value of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theoremiblabsr 25346* A measurable function is integrable iff its absolute value is integrable. (See iblabs 25345 for the forward implication.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (absโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theoremiblmulc2 25347* Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theoremitgmulc2lem1 25348* Lemma for itgmulc2 25350: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
 
Theoremitgmulc2lem2 25349* Lemma for itgmulc2 25350: real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
 
Theoremitgmulc2 25350* Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
 
Theoremitgabs 25351* The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ด(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)
 
Theoremitgsplit 25352* The โˆซ integral splits under an almost disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜(๐ด โˆฉ ๐ต)) = 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐ด โˆช ๐ต))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐‘ˆ๐ถ d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฅ + โˆซ๐ต๐ถ d๐‘ฅ))
 
Theoremitgspliticc 25353* The โˆซ integral splits on closed intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (๐ด[,]๐ถ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ถ)) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต[,]๐ถ) โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ(๐ด[,]๐ถ)๐ท d๐‘ฅ = (โˆซ(๐ด[,]๐ต)๐ท d๐‘ฅ + โˆซ(๐ต[,]๐ถ)๐ท d๐‘ฅ))
 
Theoremitgsplitioo 25354* The โˆซ integral splits on open intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (๐ด[,]๐ถ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ถ)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต(,)๐ถ) โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆซ(๐ด(,)๐ถ)๐ท d๐‘ฅ = (โˆซ(๐ด(,)๐ต)๐ท d๐‘ฅ + โˆซ(๐ต(,)๐ถ)๐ท d๐‘ฅ))
 
Theorembddmulibl 25355* A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
((๐น โˆˆ MblFn โˆง ๐บ โˆˆ ๐ฟ1 โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ dom ๐น(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐น โˆ˜f ยท ๐บ) โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theorembddibl 25356* A bounded function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
((๐น โˆˆ MblFn โˆง (volโ€˜dom ๐น) โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ dom ๐น(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ ๐น โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theoremcniccibl 25357 A continuous function on a closed bounded interval is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐น โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ ๐น โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theorembddiblnc 25358* Choice-free proof of bddibl 25356. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 6-Nov-2017.)
((๐น โˆˆ MblFn โˆง (volโ€˜dom ๐น) โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ dom ๐น(absโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ ๐น โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theoremcnicciblnc 25359 Choice-free proof of cniccibl 25357. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Nov-2017.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐น โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ ๐น โˆˆ ๐ฟ1)
 
Theoremitggt0 25360* The integral of a strictly positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ 0 < (volโ€˜๐ด))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 < โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)
 
Theoremitgcn 25361* Transfer itg2cn 25280 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ dom vol((๐‘ข โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ข) < ๐‘‘) โ†’ โˆซ๐‘ข(absโ€˜๐ต) d๐‘ฅ < ๐ถ))
 
13.2.2.2  Lesbesgue directed integral
 
Syntaxcdit 25362 Extend class notation with the directed integral.
class โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ถ d๐‘ฅ
 
Definitiondf-ditg 25363 Define the directed integral, which is just a regular integral but with a sign change when the limits are interchanged. The ๐ด and ๐ต here are the lower and upper limits of the integral, usually written as a subscript and superscript next to the integral sign. We define the region of integration to be an open interval instead of closed so that we can use +โˆž, -โˆž for limits and also integrate up to a singularity at an endpoint. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ถ d๐‘ฅ = if(๐ด โ‰ค ๐ต, โˆซ(๐ด(,)๐ต)๐ถ d๐‘ฅ, -โˆซ(๐ต(,)๐ด)๐ถ d๐‘ฅ)
 
Theoremditgeq1 25364* Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
(๐ด = ๐ต โ†’ โจœ[๐ด โ†’ ๐ถ]๐ท d๐‘ฅ = โจœ[๐ต โ†’ ๐ถ]๐ท d๐‘ฅ)
 
Theoremditgeq2 25365* Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
(๐ด = ๐ต โ†’ โจœ[๐ถ โ†’ ๐ด]๐ท d๐‘ฅ = โจœ[๐ถ โ†’ ๐ต]๐ท d๐‘ฅ)
 
Theoremditgeq3 25366* Equality theorem for the directed integral. (The domain of the equality here is very rough; for more precise bounds one should decompose it with ditgpos 25372 first and use the equality theorems for df-itg 25139.) (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
(โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ท = ๐ธ โ†’ โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ท d๐‘ฅ = โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ธ d๐‘ฅ)
 
Theoremditgeq3dv 25367* Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ท = ๐ธ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ท d๐‘ฅ = โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ธ d๐‘ฅ)
 
Theoremditgex 25368 A directed integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ถ d๐‘ฅ โˆˆ V
 
Theoremditg0 25369* Value of the directed integral from a point to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
โจœ[๐ด โ†’ ๐ด]๐ต d๐‘ฅ = 0
 
Theoremcbvditg 25370* Change bound variable in a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
(๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ถ = ๐ท)    &   โ„ฒ๐‘ฆ๐ถ    &   โ„ฒ๐‘ฅ๐ท    โ‡’   โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ถ d๐‘ฅ = โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ท d๐‘ฆ
 
Theoremcbvditgv 25371* Change bound variable in a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
(๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ถ = ๐ท)    โ‡’   โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ถ d๐‘ฅ = โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ท d๐‘ฆ
 
Theoremditgpos 25372* Value of the directed integral in the forward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ถ d๐‘ฅ = โˆซ(๐ด(,)๐ต)๐ถ d๐‘ฅ)
 
Theoremditgneg 25373* Value of the directed integral in the backward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐ต โ†’ ๐ด]๐ถ d๐‘ฅ = -โˆซ(๐ด(,)๐ต)๐ถ d๐‘ฅ)
 
Theoremditgcl 25374* Closure of a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ถ d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
 
Theoremditgswap 25375* Reverse a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐ต โ†’ ๐ด]๐ถ d๐‘ฅ = -โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ถ d๐‘ฅ)
 
Theoremditgsplitlem 25376* Lemma for ditgsplit 25377. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ)) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1)    &   ((๐œ“ โˆง ๐œƒ) โ†” (๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))    โ‡’   (((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โˆง ๐œƒ) โ†’ โจœ[๐ด โ†’ ๐ถ]๐ท d๐‘ฅ = (โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ท d๐‘ฅ + โจœ[๐ต โ†’ ๐ถ]๐ท d๐‘ฅ))
 
Theoremditgsplit 25377* This theorem is the raison d'รชtre for the directed integral, because unlike itgspliticc 25353, there is no constraint on the ordering of the points ๐ด, ๐ต, ๐ถ in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ)) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ท) โˆˆ ๐ฟ1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐ด โ†’ ๐ถ]๐ท d๐‘ฅ = (โจœ[๐ด โ†’ ๐ต]๐ท d๐‘ฅ + โจœ[๐ต โ†’ ๐ถ]๐ท d๐‘ฅ))
 
13.3  Derivatives
 
13.3.1  Real and complex differentiation
 
13.3.1.1  Derivatives of functions of one complex or real variable
 
Syntaxclimc 25378 The limit operator.
class limโ„‚
 
Syntaxcdv 25379 The derivative operator.
class D
 
Syntaxcdvn 25380 The ๐‘›-th derivative operator.
class D๐‘›
 
Syntaxccpn 25381 The set of ๐‘›-times continuously differentiable functions.
class ๐“‘C๐‘›
 
Definitiondf-limc 25382* Define the set of limits of a complex function at a point. Under normal circumstances, this will be a singleton or empty, depending on whether the limit exists. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
limโ„‚ = (๐‘“ โˆˆ (โ„‚ โ†‘pm โ„‚), ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ {๐‘ฆ โˆฃ [(TopOpenโ€˜โ„‚fld) / ๐‘—](๐‘ง โˆˆ (dom ๐‘“ โˆช {๐‘ฅ}) โ†ฆ if(๐‘ง = ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, (๐‘“โ€˜๐‘ง))) โˆˆ (((๐‘— โ†พt (dom ๐‘“ โˆช {๐‘ฅ})) CnP ๐‘—)โ€˜๐‘ฅ)})
 
Definitiondf-dv 25383* Define the derivative operator. This acts on functions to produce a function that is defined where the original function is differentiable, with value the derivative of the function at these points. The set ๐‘  here is the ambient topological space under which we are evaluating the continuity of the difference quotient. Although the definition is valid for any subset of โ„‚ and is well-behaved when ๐‘  contains no isolated points, we will restrict our attention to the cases ๐‘  = โ„ or ๐‘  = โ„‚ for the majority of the development, these corresponding respectively to real and complex differentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.)
D = (๐‘  โˆˆ ๐’ซ โ„‚, ๐‘“ โˆˆ (โ„‚ โ†‘pm ๐‘ ) โ†ฆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ((intโ€˜((TopOpenโ€˜โ„‚fld) โ†พt ๐‘ ))โ€˜dom ๐‘“)({๐‘ฅ} ร— ((๐‘ง โˆˆ (dom ๐‘“ โˆ– {๐‘ฅ}) โ†ฆ (((๐‘“โ€˜๐‘ง) โˆ’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ)) / (๐‘ง โˆ’ ๐‘ฅ))) limโ„‚ ๐‘ฅ)))
 
Definitiondf-dvn 25384* Define the ๐‘›-th derivative operator on functions on the complex numbers. This just iterates the derivative operation according to the last argument. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
D๐‘› = (๐‘  โˆˆ ๐’ซ โ„‚, ๐‘“ โˆˆ (โ„‚ โ†‘pm ๐‘ ) โ†ฆ seq0(((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘  D ๐‘ฅ)) โˆ˜ 1st ), (โ„•0 ร— {๐‘“})))
 
Definitiondf-cpn 25385* Define the set of ๐‘›-times continuously differentiable functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
๐“‘C๐‘› = (๐‘  โˆˆ ๐’ซ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ {๐‘“ โˆˆ (โ„‚ โ†‘pm ๐‘ ) โˆฃ ((๐‘  D๐‘› ๐‘“)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (dom ๐‘“โ€“cnโ†’โ„‚)}))
 
Theoremreldv 25386 The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Rel (๐‘† D ๐น)
 
Theoremlimcvallem 25387* Lemma for ellimc 25389. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
๐ฝ = (๐พ โ†พt (๐ด โˆช {๐ต}))    &   ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)    &   ๐บ = (๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต}) โ†ฆ if(๐‘ง = ๐ต, ๐ถ, (๐นโ€˜๐‘ง)))    โ‡’   ((๐น:๐ดโŸถโ„‚ โˆง ๐ด โŠ† โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐บ โˆˆ ((๐ฝ CnP ๐พ)โ€˜๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚))
 
Theoremlimcfval 25388* Value and set bounds on the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
๐ฝ = (๐พ โ†พt (๐ด โˆช {๐ต}))    &   ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)    โ‡’   ((๐น:๐ดโŸถโ„‚ โˆง ๐ด โŠ† โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐น limโ„‚ ๐ต) = {๐‘ฆ โˆฃ (๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต}) โ†ฆ if(๐‘ง = ๐ต, ๐‘ฆ, (๐นโ€˜๐‘ง))) โˆˆ ((๐ฝ CnP ๐พ)โ€˜๐ต)} โˆง (๐น limโ„‚ ๐ต) โŠ† โ„‚))
 
Theoremellimc 25389* Value of the limit predicate. ๐ถ is the limit of the function ๐น at ๐ต if the function ๐บ, formed by adding ๐ต to the domain of ๐น and setting it to ๐ถ, is continuous at ๐ต. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
๐ฝ = (๐พ โ†พt (๐ด โˆช {๐ต}))    &   ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)    &   ๐บ = (๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต}) โ†ฆ if(๐‘ง = ๐ต, ๐ถ, (๐นโ€˜๐‘ง)))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถโ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐น limโ„‚ ๐ต) โ†” ๐บ โˆˆ ((๐ฝ CnP ๐พ)โ€˜๐ต)))
 
Theoremlimcrcl 25390 Reverse closure for the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
(๐ถ โˆˆ (๐น limโ„‚ ๐ต) โ†’ (๐น:dom ๐นโŸถโ„‚ โˆง dom ๐น โŠ† โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
 
Theoremlimccl 25391 Closure of the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
(๐น limโ„‚ ๐ต) โŠ† โ„‚
 
Theoremlimcdif 25392 It suffices to consider functions which are not defined at ๐ต to define the limit of a function. In particular, the value of the original function ๐น at ๐ต does not affect the limit of ๐น. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถโ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐น limโ„‚ ๐ต) = ((๐น โ†พ (๐ด โˆ– {๐ต})) limโ„‚ ๐ต))
 
Theoremellimc2 25393* Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถโ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐น limโ„‚ ๐ต) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐พ (๐ถ โˆˆ ๐‘ข โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐พ (๐ต โˆˆ ๐‘ค โˆง (๐น โ€œ (๐‘ค โˆฉ (๐ด โˆ– {๐ต}))) โŠ† ๐‘ข)))))
 
Theoremlimcnlp 25394 If ๐ต is not a limit point of the domain of the function ๐น, then every point is a limit of ๐น at ๐ต. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถโ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ ((limPtโ€˜๐พ)โ€˜๐ด))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐น limโ„‚ ๐ต) = โ„‚)
 
Theoremellimc3 25395* Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถโ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐น limโ„‚ ๐ต) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ง โ‰  ๐ต โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ต)) < ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐‘ง) โˆ’ ๐ถ)) < ๐‘ฅ))))
 
Theoremlimcflflem 25396 Lemma for limcflf 25397. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถโ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ((limPtโ€˜๐พ)โ€˜๐ด))    &   ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)    &   ๐ถ = (๐ด โˆ– {๐ต})    &   ๐ฟ = (((neiโ€˜๐พ)โ€˜{๐ต}) โ†พt ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (Filโ€˜๐ถ))
 
Theoremlimcflf 25397 The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of ๐ต restricted to ๐ด โˆ– {๐ต}, to the topology of the complex numbers. (If ๐ต is not a limit point of ๐ด, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถโ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ((limPtโ€˜๐พ)โ€˜๐ด))    &   ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)    &   ๐ถ = (๐ด โˆ– {๐ต})    &   ๐ฟ = (((neiโ€˜๐พ)โ€˜{๐ต}) โ†พt ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐น limโ„‚ ๐ต) = ((๐พ fLimf ๐ฟ)โ€˜(๐น โ†พ ๐ถ)))
 
Theoremlimcmo 25398* If ๐ต is a limit point of the domain of the function ๐น, then there is at most one limit value of ๐น at ๐ต. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถโ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ((limPtโ€˜๐พ)โ€˜๐ด))    &   ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ ๐‘ฅ โˆˆ (๐น limโ„‚ ๐ต))
 
Theoremlimcmpt 25399* Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   ๐ฝ = (๐พ โ†พt (๐ด โˆช {๐ต}))    &   ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ ((๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ท) limโ„‚ ๐ต) โ†” (๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต}) โ†ฆ if(๐‘ง = ๐ต, ๐ถ, ๐ท)) โˆˆ ((๐ฝ CnP ๐พ)โ€˜๐ต)))
 
Theoremlimcmpt2 25400* Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โ‰  ๐ต)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    &   ๐ฝ = (๐พ โ†พt ๐ด)    &   ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ ((๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– {๐ต}) โ†ฆ ๐ท) limโ„‚ ๐ต) โ†” (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘ง = ๐ต, ๐ถ, ๐ท)) โˆˆ ((๐ฝ CnP ๐พ)โ€˜๐ต)))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-15000 151 15001-15100 152 15101-15200 153 15201-15300 154 15301-15400 155 15401-15500 156 15501-15600 157 15601-15700 158 15701-15800 159 15801-15900 160 15901-16000 161 16001-16100 162 16101-16200 163 16201-16300 164 16301-16400 165 16401-16500 166 16501-16600 167 16601-16700 168 16701-16800 169 16801-16900 170 16901-17000 171 17001-17100 172 17101-17200 173 17201-17300 174 17301-17400 175 17401-17500 176 17501-17600 177 17601-17700 178 17701-17800 179 17801-17900 180 17901-18000 181 18001-18100 182 18101-18200 183 18201-18300 184 18301-18400 185 18401-18500 186 18501-18600 187 18601-18700 188 18701-18800 189 18801-18900 190 18901-19000 191 19001-19100 192 19101-19200 193 19201-19300 194 19301-19400 195 19401-19500 196 19501-19600 197 19601-19700 198 19701-19800 199 19801-19900 200 19901-20000 201 20001-20100 202 20101-20200 203 20201-20300 204 20301-20400 205 20401-20500 206 20501-20600 207 20601-20700 208 20701-20800 209 20801-20900 210 20901-21000 211 21001-21100 212 21101-21200 213 21201-21300 214 21301-21400 215 21401-21500 216 21501-21600 217 21601-21700 218 21701-21800 219 21801-21900 220 21901-22000 221 22001-22100 222 22101-22200 223 22201-22300 224 22301-22400 225 22401-22500 226 22501-22600 227 22601-22700 228 22701-22800 229 22801-22900 230 22901-23000 231 23001-23100 232 23101-23200 233 23201-23300 234 23301-23400 235 23401-23500 236 23501-23600 237 23601-23700 238 23701-23800 239 23801-23900 240 23901-24000 241 24001-24100 242 24101-24200 243 24201-24300 244 24301-24400 245 24401-24500 246 24501-24600 247 24601-24700 248 24701-24800 249 24801-24900 250 24901-25000 251 25001-25100 252 25101-25200 253 25201-25300 254 25301-25400 255 25401-25500 256 25501-25600 257 25601-25700 258 25701-25800 259 25801-25900 260 25901-26000 261 26001-26100 262 26101-26200 263 26201-26300 264 26301-26400 265 26401-26500 266 26501-26600 267 26601-26700 268 26701-26800 269 26801-26900 270 26901-27000 271 27001-27100 272 27101-27200 273 27201-27300 274 27301-27400 275 27401-27500 276 27501-27600 277 27601-27700 278 27701-27800 279 27801-27900 280 27901-28000 281 28001-28100 282 28101-28200 283 28201-28300 284 28301-28400 285 28401-28500 286 28501-28600 287 28601-28700 288 28701-28800 289 28801-28900 290 28901-29000 291 29001-29100 292 29101-29200 293 29201-29300 294 29301-29400 295 29401-29500 296 29501-29600 297 29601-29700 298 29701-29800 299 29801-29900 300 29901-30000 301 30001-30100 302 30101-30200 303 30201-30300 304 30301-30400 305 30401-30500 306 30501-30600 307 30601-30700 308 30701-30800 309 30801-30900 310 30901-31000 311 31001-31100 312 31101-31200 313 31201-31300 314 31301-31400 315 31401-31500 316 31501-31600 317 31601-31700 318 31701-31800 319 31801-31900 320 31901-32000 321 32001-32100 322 32101-32200 323 32201-32300 324 32301-32400 325 32401-32500 326 32501-32600 327 32601-32700 328 32701-32800 329 32801-32900 330 32901-33000 331 33001-33100 332 33101-33200 333 33201-33300 334 33301-33400 335 33401-33500 336 33501-33600 337 33601-33700 338 33701-33800 339 33801-33900 340 33901-34000 341 34001-34100 342 34101-34200 343 34201-34300 344 34301-34400 345 34401-34500 346 34501-34600 347 34601-34700 348 34701-34800 349 34801-34900 350 34901-35000 351 35001-35100 352 35101-35200 353 35201-35300 354 35301-35400 355 35401-35500 356 35501-35600 357 35601-35700 358 35701-35800 359 35801-35900 360 35901-36000 361 36001-36100 362 36101-36200 363 36201-36300 364 36301-36400 365 36401-36500 366 36501-36600 367 36601-36700 368 36701-36800 369 36801-36900 370 36901-37000 371 37001-37100 372 37101-37200 373 37201-37300 374 37301-37400 375 37401-37500 376 37501-37600 377 37601-37700 378 37701-37800 379 37801-37900 380 37901-38000 381 38001-38100 382 38101-38200 383 38201-38300 384 38301-38400 385 38401-38500 386 38501-38600 387 38601-38700 388 38701-38800 389 38801-38900 390 38901-39000 391 39001-39100 392 39101-39200 393 39201-39300 394 39301-39400 395 39401-39500 396 39501-39600 397 39601-39700 398 39701-39800 399 39801-39900 400 39901-40000 401 40001-40100 402 40101-40200 403 40201-40300 404 40301-40400 405 40401-40500 406 40501-40600 407 40601-40700 408 40701-40800 409 40801-40900 410 40901-41000 411 41001-41100 412 41101-41200 413 41201-41300 414 41301-41400 415 41401-41500 416 41501-41600 417 41601-41700 418 41701-41800 419 41801-41900 420 41901-42000 421 42001-42100 422 42101-42200 423 42201-42300 424 42301-42400 425 42401-42500 426 42501-42600 427 42601-42700 428 42701-42800 429 42801-42900 430 42901-43000 431 43001-43100 432 43101-43200 433 43201-43300 434 43301-43400 435 43401-43500 436 43501-43600 437 43601-43700 438 43701-43800 439 43801-43900 440 43901-44000 441 44001-44100 442 44101-44200 443 44201-44300 444 44301-44400 445 44401-44500 446 44501-44600 447 44601-44700 448 44701-44800 449 44801-44900 450 44901-45000 451 45001-45100 452 45101-45200 453 45201-45300 454 45301-45400 455 45401-45500 456 45501-45600 457 45601-45700 458 45701-45800 459 45801-45900 460 45901-46000 461 46001-46100 462 46101-46200 463 46201-46300 464 46301-46400 465 46401-46500 466 46501-46600 467 46601-46700 468 46701-46800 469 46801-46900 470 46901-47000 471 47001-47100 472 47101-47200 473 47201-47300 474 47301-47400 475 47401-47500 476 47501-47600 477 47601-47700 478 47701-47800 479 47801-47842
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >