Theorem ditg0 25362

Description: Value of the directed integral from a point to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditg0	⊢ ⨜[𝐴 → 𝐴]𝐵 d𝑥 = 0

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ditg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ditg 25356	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐴]𝐵 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐴, ∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥)
2		iooid 13349	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐴) = ∅
3		itgeq1 25282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐴) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥 = ∫∅𝐵 d𝑥)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥 = ∫∅𝐵 d𝑥
5		itg0 25289	. . . . 5 ⊢ ∫∅𝐵 d𝑥 = 0
6	4, 5	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥 = 0
7	6	negeqi 11450	. . . . 5 ⊢ -∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥 = -0
8		neg0 11503	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
9	7, 8	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ -∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥 = 0
10		ifeq12 4546	. . . 4 ⊢ ((∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥 = 0 ∧ -∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥 = 0) → if(𝐴 ≤ 𝐴, ∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥) = if(𝐴 ≤ 𝐴, 0, 0))
11	6, 9, 10	mp2an 691	. . 3 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐴, ∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥) = if(𝐴 ≤ 𝐴, 0, 0)
12		ifid 4568	. . 3 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐴, 0, 0) = 0
13	11, 12	eqtri 2761	. 2 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐴, ∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥) = 0
14	1, 13	eqtri 2761	1 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐴]𝐵 d𝑥 = 0

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4322  ifcif 4528   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  0cc0 11107   ≤ cle 11246  -cneg 11442  (,)cioo 13321  ∫citg 25127  ⨜cdit 25355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xadd 13090  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-xmet 20930  df-met 20931  df-ovol 24973  df-vol 24974  df-mbf 25128  df-itg1 25129  df-itg2 25130  df-itg 25132  df-0p 25179  df-ditg 25356

This theorem is referenced by:  ditgneg  25366