Theorem ditg0 25911

Description: Value of the directed integral from a point to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditg0	⊢ ⨜[𝐴 → 𝐴]𝐵 d𝑥 = 0

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ditg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ditg 25905	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐴]𝐵 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐴, ∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥)
2		iooid 13418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐴) = ∅
3		itgeq1 25831	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐴) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥 = ∫∅𝐵 d𝑥)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥 = ∫∅𝐵 d𝑥
5		itg0 25838	. . . . 5 ⊢ ∫∅𝐵 d𝑥 = 0
6	4, 5	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥 = 0
7	6	negeqi 11505	. . . . 5 ⊢ -∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥 = -0
8		neg0 11559	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
9	7, 8	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ -∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥 = 0
10		ifeq12 4550	. . . 4 ⊢ ((∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥 = 0 ∧ -∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥 = 0) → if(𝐴 ≤ 𝐴, ∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥) = if(𝐴 ≤ 𝐴, 0, 0))
11	6, 9, 10	mp2an 692	. . 3 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐴, ∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥) = if(𝐴 ≤ 𝐴, 0, 0)
12		ifid 4572	. . 3 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐴, 0, 0) = 0
13	11, 12	eqtri 2764	. 2 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐴, ∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐴)𝐵 d𝑥) = 0
14	1, 13	eqtri 2764	1 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐴]𝐵 d𝑥 = 0

Syntax hints:   = wceq 1538  ∅c0 4340  ifcif 4532   class class class wbr 5149  (class class class)co 7435  0cc0 11159   ≤ cle 11300  -cneg 11497  (,)cioo 13390  ∫citg 25675  ⨜cdit 25904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-inf2 9685  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-pre-sup 11237  ax-addf 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-disj 5117  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-se 5643  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-of 7701  df-ofr 7702  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-2o 8512  df-er 8750  df-map 8873  df-pm 8874  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-sup 9486  df-inf 9487  df-oi 9554  df-dju 9945  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11925  df-nn 12271  df-2 12333  df-3 12334  df-n0 12531  df-z 12618  df-uz 12883  df-q 12995  df-rp 13039  df-xadd 13159  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13551  df-fzo 13698  df-fl 13835  df-seq 14046  df-exp 14106  df-hash 14373  df-cj 15141  df-re 15142  df-im 15143  df-sqrt 15277  df-abs 15278  df-clim 15527  df-sum 15726  df-xmet 21381  df-met 21382  df-ovol 25521  df-vol 25522  df-mbf 25676  df-itg1 25677  df-itg2 25678  df-itg 25680  df-0p 25727  df-ditg 25905

This theorem is referenced by:  ditgneg  25915