Theorem efrn2lp 5628

Description: A well-founded class contains no 2-cycle loops. (Contributed by NM, 19-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
efrn2lp	⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem efrn2lp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fr2nr 5624	. 2 ⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵 E 𝐶 ∧ 𝐶 E 𝐵))
2		epelg 5548	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐵 E 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ 𝐶))
3		epelg 5548	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐶 E 𝐵 ↔ 𝐶 ∈ 𝐵))
4	2, 3	bi2anan9r 651	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐵 E 𝐶 ∧ 𝐶 E 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
5	4	adantl 487	. 2 ⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 E 𝐶 ∧ 𝐶 E 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
6	1, 5	mtbid 327	1 ⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102   E cep 5546   Fr wfr 5597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-eprel 5547  df-fr 5600

This theorem is used by:  en2lp  9585