Theorem efrn2lp 5659

Description: A well-founded class contains no 2-cycle loops. (Contributed by NM, 19-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
efrn2lp	⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem efrn2lp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fr2nr 5655	. 2 ⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵 E 𝐶 ∧ 𝐶 E 𝐵))
2		epelg 5582	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐵 E 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ 𝐶))
3		epelg 5582	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐶 E 𝐵 ↔ 𝐶 ∈ 𝐵))
4	2, 3	bi2anan9r 639	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐵 E 𝐶 ∧ 𝐶 E 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
5	4	adantl 483	. 2 ⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 E 𝐶 ∧ 𝐶 E 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
6	1, 5	mtbid 324	1 ⊢ (( E Fr 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149   E cep 5580   Fr wfr 5629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-eprel 5581  df-fr 5632

This theorem is referenced by:  en2lp  9601