Theorem eldmres3 38415

Description: Elementhood in the domain of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eldmres3	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))

Proof of Theorem eldmres3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmres2 38414	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅)))
2		n0 4303	. . 3 ⊢ ([𝐵]𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅)
3	2	anbi2i 623	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅))
4	1, 3	bitr4di 289	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∅c0 4283  dom cdm 5622   ↾ cres 5624  [cec 8631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-xp 5628  df-cnv 5630  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ec 8635

This theorem is referenced by:  eldmxrncnvepres  38558