Theorem eldmres3 38260

Description: Elementhood in the domain of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eldmres3	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))

Proof of Theorem eldmres3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmres2 38259	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅)))
2		n0 4318	. . 3 ⊢ ([𝐵]𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅)
3	2	anbi2i 623	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅))
4	1, 3	bitr4di 289	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4298  dom cdm 5640   ↾ cres 5642  [cec 8671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5110  df-opab 5172  df-xp 5646  df-cnv 5648  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ec 8675

This theorem is referenced by:  eldmxrncnvepres  38391