Theorem eldmres3 39355

Description: Elementhood in the domain of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eldmres3	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))

Proof of Theorem eldmres3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmres2 39354	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅)))
2		n0 4302	. . 3 ⊢ ([𝐵]𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅)
3	2	anbi2i 635	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅))
4	1, 3	bitr4di 292	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∅c0 4280  dom cdm 5654   ↾ cres 5656  [cec 8726

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-br 5106  df-opab 5170  df-xp 5660  df-cnv 5662  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ec 8730

This theorem is used by:  eldmxrncnvepres  39506