Theorem eldmres3 38952

Description: Elementhood in the domain of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eldmres3	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))

Proof of Theorem eldmres3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmres2 38951	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅)))
2		n0 4307	. . 3 ⊢ ([𝐵]𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅)
3	2	anbi2i 634	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅))
4	1, 3	bitr4di 292	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  [cec 8688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-cnv 5669  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ec 8692

This theorem is referenced by:  eldmxrncnvepres  39103