Theorem eldmxrncnvepres 39632

Description: Element of the domain of the range product with restricted converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eldmxrncnvepres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))

Proof of Theorem eldmxrncnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmres3 39481	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))
2	1	anbi1d 643	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
3		dmxrncnvepres 39630	. . . 4 ⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})
4	3	eleq2i 2856	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ 𝐵 ∈ (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅}))
5		eldifsn 4750	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅))
6	4, 5	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ ∅))
7		3anan32 1113	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅) ↔ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ≠ ∅))
8	2, 6, 7	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588   E cep 5557  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658   ↾ cres 5660  [cec 8753   ⋉ cxrn 39372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-eprel 5558  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fo 6572  df-fv 6574  df-oprab 7455  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-ec 8757  df-xrn 39578

This theorem is used by:  eceldmqsxrncnvepres  39634