Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldmres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldmres2 38257
Description: Elementhood in the domain of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 21-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
eldmres2 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅𝐴) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅   𝑦,𝑉

Proof of Theorem eldmres2
StepHypRef Expression
1 eldmres 38252 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅𝐴) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))
2 eldmg 5912 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦))
3 eldm4 38256 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅))
42, 3bitr3d 281 . . 3 (𝐵𝑉 → (∃𝑦 𝐵𝑅𝑦 ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅))
54anbi2d 630 . 2 (𝐵𝑉 → ((𝐵𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅)))
61, 5bitrd 279 1 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅𝐴) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ [𝐵]𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wex 1776  wcel 2106   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cres 5691  [cec 8742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ec 8746
This theorem is referenced by:  eldmqsres  38269
  Copyright terms: Public domain W3C validator