Theorem elec1cnvres 38952

Description: Elementhood in the converse restricted coset of 𝐵. (Contributed by Peter Mazsa, 21-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elec1cnvres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ [𝐵]◡(𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))

Proof of Theorem elec1cnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6105	. . 3 ⊢ Rel ◡(𝑅 ↾ 𝐴)
2		relelec 8740	. . 3 ⊢ (Rel ◡(𝑅 ↾ 𝐴) → (𝐶 ∈ [𝐵]◡(𝑅 ↾ 𝐴) ↔ 𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ [𝐵]◡(𝑅 ↾ 𝐴) ↔ 𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶)
4		br1cnvres 38951	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
5	3, 4	bitrid 286	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ [𝐵]◡(𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5659   ↾ cres 5662  Rel wrel 5665  [cec 8690

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ec 8694

This theorem is used by:  ec1cnvres  38953