Theorem elec1cnvres 39127

Description: Elementhood in the converse restricted coset of 𝐵. (Contributed by Peter Mazsa, 21-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elec1cnvres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ [𝐵]◡(𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))

Proof of Theorem elec1cnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6094	. . 3 ⊢ Rel ◡(𝑅 ↾ 𝐴)
2		relelec 8743	. . 3 ⊢ (Rel ◡(𝑅 ↾ 𝐴) → (𝐶 ∈ [𝐵]◡(𝑅 ↾ 𝐴) ↔ 𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ [𝐵]◡(𝑅 ↾ 𝐴) ↔ 𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶)
4		br1cnvres 39126	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))
5	3, 4	bitrid 286	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ [𝐵]◡(𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649  Rel wrel 5652  [cec 8693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ec 8697

This theorem is used by:  ec1cnvres  39128