Theorem elfv2ex 6904

Description: If a function value of a function value has a member, then the first argument is a set. (Contributed by AV, 8-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfv2ex	⊢ (𝐴 ∈ ((𝐹‘𝐵)‘𝐶) → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem elfv2ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ ((𝐹‘𝐵)‘𝐶) → 𝐵 ∈ V))
2		fv2prc 6903	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ((𝐹‘𝐵)‘𝐶) = ∅)
3	2	eleq2d 2814	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ ((𝐹‘𝐵)‘𝐶) ↔ 𝐴 ∈ ∅))
4		noel 4301	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
5	4	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ → 𝐵 ∈ V)
6	3, 5	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ ((𝐹‘𝐵)‘𝐶) → 𝐵 ∈ V))
7	1, 6	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝐹‘𝐵)‘𝐶) → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ∅c0 4296  ‘cfv 6511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fv 6519

This theorem is referenced by:  2arwcat  49589