Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemo 34038
Description: Lemma for eulerpart 34055: ๐‘‚ is the set of odd partitions of ๐‘. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p ๐‘ƒ = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ ((โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜) = ๐‘)}
eulerpart.o ๐‘‚ = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ โ„•) ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›}
eulerpart.d ๐ท = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) โ‰ค 1}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemo (๐ด โˆˆ ๐‘‚ โ†” (๐ด โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›))
Distinct variable groups:   ๐‘”,๐‘›,๐ด   ๐‘ƒ,๐‘”
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘“,๐‘˜)   ๐ท(๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›)   ๐‘ƒ(๐‘“,๐‘˜,๐‘›)   ๐‘(๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›)   ๐‘‚(๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›)

Proof of Theorem eulerpartlemo
StepHypRef Expression
1 cnveq 5871 . . . 4 (๐‘” = ๐ด โ†’ โ—ก๐‘” = โ—ก๐ด)
21imaeq1d 6058 . . 3 (๐‘” = ๐ด โ†’ (โ—ก๐‘” โ€œ โ„•) = (โ—ก๐ด โ€œ โ„•))
32raleqdv 3315 . 2 (๐‘” = ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ โ„•) ยฌ 2 โˆฅ ๐‘› โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›))
4 eulerpart.o . 2 ๐‘‚ = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ โ„•) ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›}
53, 4elrab2 3679 1 (๐ด โˆˆ ๐‘‚ โ†” (๐ด โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  {crab 3419   class class class wbr 5144  โ—กccnv 5672   โ€œ cima 5676  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   โ†‘m cmap 8838  Fincfn 8957  1c1 11134   ยท cmul 11138   โ‰ค cle 11274  โ„•cn 12237  2c2 12292  โ„•0cn0 12497  ฮฃcsu 15659   โˆฅ cdvds 16225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5145  df-opab 5207  df-cnv 5681  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686
This theorem is referenced by:  eulerpartlemr  34047
  Copyright terms: Public domain W3C validator