Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemd 31302
Description: Lemma for eulerpart 31318: 𝐷 is the set of distinct part. of 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemd (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝐴   𝑓,𝑁   𝑃,𝑔,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑔,𝑘,𝑛)   𝑂(𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eulerpartlemd
StepHypRef Expression
1 fveq1 6496 . . . . 5 (𝑔 = 𝐴 → (𝑔𝑛) = (𝐴𝑛))
21breq1d 4936 . . . 4 (𝑔 = 𝐴 → ((𝑔𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
32ralbidv 3142 . . 3 (𝑔 = 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1))
4 eulerpart.d . . 3 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
53, 4elrab2 3594 . 2 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1))
6 2z 11826 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
7 fzoval 12854 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0..^2) = (0...(2 − 1))
9 fzo0to2pr 12936 . . . . . . . 8 (0..^2) = {0, 1}
10 2m1e1 11572 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
1110oveq2i 6986 . . . . . . . 8 (0...(2 − 1)) = (0...1)
128, 9, 113eqtr3i 2805 . . . . . . 7 {0, 1} = (0...1)
1312eleq2i 2852 . . . . . 6 ((𝐴𝑛) ∈ {0, 1} ↔ (𝐴𝑛) ∈ (0...1))
14 eulerpart.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
1514eulerpartleme 31299 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
1615simp1bi 1126 . . . . . . . 8 (𝐴𝑃𝐴:ℕ⟶ℕ0)
1716ffvelrnda 6675 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℕ0)
18 1nn0 11724 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 elfz2nn0 12813 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ ((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
20 df-3an 1071 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1) ↔ (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2119, 20bitri 267 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2221baib 528 . . . . . . 7 (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2317, 18, 22sylancl 578 . . . . . 6 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2413, 23syl5rbb 276 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
2524ralbidva 3141 . . . 4 (𝐴𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
2616ffund 6346 . . . . 5 (𝐴𝑃 → Fun 𝐴)
27 fdm 6350 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
28 eqimss2 3909 . . . . . 6 (dom 𝐴 = ℕ → ℕ ⊆ dom 𝐴)
2916, 27, 283syl 18 . . . . 5 (𝐴𝑃 → ℕ ⊆ dom 𝐴)
30 funimass4 6558 . . . . 5 ((Fun 𝐴 ∧ ℕ ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
3126, 29, 30syl2anc 576 . . . 4 (𝐴𝑃 → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
3225, 31bitr4d 274 . . 3 (𝐴𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
3332pm5.32i 567 . 2 ((𝐴𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1) ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
345, 33bitri 267 1 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3083  {crab 3087  wss 3824  {cpr 4438   class class class wbr 4926  ccnv 5403  dom cdm 5404  cima 5407  Fun wfun 6180  wf 6182  cfv 6186  (class class class)co 6975  𝑚 cmap 8205  Fincfn 8305  0cc0 10334  1c1 10335   · cmul 10339  cle 10474  cmin 10669  cn 11438  2c2 11494  0cn0 11706  cz 11792  ...cfz 12707  ..^cfzo 12848  Σcsu 14902  cdvds 15466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-map 8207  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-seq 13184  df-sum 14903
This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  31317
  Copyright terms: Public domain W3C validator