Theorem eulerpartlemd 35065

Description: Lemma for eulerpart 35081: 𝐷 is the set of distinct part. of 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o	⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d	⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemd	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝐴   𝑓,𝑁   𝑃,𝑔,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓, 𝑔, 𝑘, 𝑛)   𝑃(𝑓, 𝑘)   𝑁(𝑔, 𝑘, 𝑛)   𝑂(𝑓, 𝑔, 𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem eulerpartlemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6904	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑔‘𝑛) = (𝐴‘𝑛))
2	1	breq1d 5116	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → ((𝑔‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
3	2	ralbidv 3189	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
4		eulerpart.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
5	3, 4	elrab2 3652	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
6		2z 12752	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		fzoval 13818	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^2) = (0...(2 − 1))
9		fzo0to2pr 13909	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
10		2m1e1 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
11	10	oveq2i 7451	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(2 − 1)) = (0...1)
12	8, 9, 11	3eqtr3i 2794	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} = (0...1)
13	12	eleq2i 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1} ↔ (𝐴‘𝑛) ∈ (0...1))
14		eulerpart.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
15	14	eulerpartleme 35062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
16	15	simp1bi 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
17	16	ffvelcdmda 7105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0)
18		1nn0 12646	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		elfz2nn0 13776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ ((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
20		df-3an 1105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1) ↔ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
21	19, 20	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
22	21	baib 545	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
23	17, 18, 22	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
24	13, 23	bitr2id 287	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
25	24	ralbidva 3187	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
26	16	ffund 6733	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → Fun 𝐴)
27		fdm 6738	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
28		eqimss2 3972	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 = ℕ → ℕ ⊆ dom 𝐴)
29	16, 27, 28	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → ℕ ⊆ dom 𝐴)
30		funimass4 6969	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ ℕ ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
31	26, 29, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
32	25, 31	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
33	32	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1) ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
34	5, 33	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900  {cpr 4590   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   “ cima 5658  Fun wfun 6549  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  Fincfn 8998  0cc0 11224  1c1 11225   · cmul 11229   ≤ cle 11368   − cmin 11565  ℕcn 12359  2c2 12421  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  ...cfz 13663  ..^cfzo 13812  Σcsu 15879   ∥ cdvds 16448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-sum 15880

This theorem is used by:  eulerpartlemn  35080