Theorem eulerpartlemd 34910

Description: Lemma for eulerpart 34926: 𝐷 is the set of distinct part. of 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o	⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d	⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemd	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝐴   𝑓,𝑁   𝑃,𝑔,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓, 𝑔, 𝑘, 𝑛)   𝑃(𝑓, 𝑘)   𝑁(𝑔, 𝑘, 𝑛)   𝑂(𝑓, 𝑔, 𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem eulerpartlemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6880	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑔‘𝑛) = (𝐴‘𝑛))
2	1	breq1d 5113	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → ((𝑔‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
3	2	ralbidv 3185	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
4		eulerpart.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
5	3, 4	elrab2 3649	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
6		2z 12675	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		fzoval 13740	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^2) = (0...(2 − 1))
9		fzo0to2pr 13831	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
10		2m1e1 12414	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
11	10	oveq2i 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(2 − 1)) = (0...1)
12	8, 9, 11	3eqtr3i 2791	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} = (0...1)
13	12	eleq2i 2852	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1} ↔ (𝐴‘𝑛) ∈ (0...1))
14		eulerpart.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
15	14	eulerpartleme 34907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
16	15	simp1bi 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
17	16	ffvelcdmda 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0)
18		1nn0 12569	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		elfz2nn0 13698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ ((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
20		df-3an 1105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1) ↔ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
21	19, 20	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
22	21	baib 545	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
23	17, 18, 22	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
24	13, 23	bitr2id 287	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
25	24	ralbidva 3183	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
26	16	ffund 6710	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → Fun 𝐴)
27		fdm 6715	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
28		eqimss2 3990	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 = ℕ → ℕ ⊆ dom 𝐴)
29	16, 27, 28	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → ℕ ⊆ dom 𝐴)
30		funimass4 6945	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ ℕ ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
31	26, 29, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
32	25, 31	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
33	32	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1) ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
34	5, 33	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3899  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   “ cima 5658  Fun wfun 6529  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8959  0cc0 11149  1c1 11150   · cmul 11154   ≤ cle 11293   − cmin 11490  ℕcn 12282  2c2 12344  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12640  ...cfz 13586  ..^cfzo 13734  Σcsu 15798   ∥ cdvds 16367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-seq 14091  df-sum 15799

This theorem is used by:  eulerpartlemn  34925