Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemd 33365
Description: Lemma for eulerpart 33381: 𝐷 is the set of distinct part. of 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemd (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,𝐴   𝑓,𝑁   𝑃,𝑔,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝑃(𝑓,π‘˜)   𝑁(𝑔,π‘˜,𝑛)   𝑂(𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem eulerpartlemd
StepHypRef Expression
1 fveq1 6891 . . . . 5 (𝑔 = 𝐴 β†’ (π‘”β€˜π‘›) = (π΄β€˜π‘›))
21breq1d 5159 . . . 4 (𝑔 = 𝐴 β†’ ((π‘”β€˜π‘›) ≀ 1 ↔ (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
32ralbidv 3178 . . 3 (𝑔 = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
4 eulerpart.d . . 3 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
53, 4elrab2 3687 . 2 (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
6 2z 12594 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„€
7 fzoval 13633 . . . . . . . . 9 (2 ∈ β„€ β†’ (0..^2) = (0...(2 βˆ’ 1)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0..^2) = (0...(2 βˆ’ 1))
9 fzo0to2pr 13717 . . . . . . . 8 (0..^2) = {0, 1}
10 2m1e1 12338 . . . . . . . . 9 (2 βˆ’ 1) = 1
1110oveq2i 7420 . . . . . . . 8 (0...(2 βˆ’ 1)) = (0...1)
128, 9, 113eqtr3i 2769 . . . . . . 7 {0, 1} = (0...1)
1312eleq2i 2826 . . . . . 6 ((π΄β€˜π‘›) ∈ {0, 1} ↔ (π΄β€˜π‘›) ∈ (0...1))
14 eulerpart.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
1514eulerpartleme 33362 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
1615simp1bi 1146 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑃 β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
1716ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„•0)
18 1nn0 12488 . . . . . . 7 1 ∈ β„•0
19 elfz2nn0 13592 . . . . . . . . 9 ((π΄β€˜π‘›) ∈ (0...1) ↔ ((π΄β€˜π‘›) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
20 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 (((π΄β€˜π‘›) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘›) ≀ 1) ↔ (((π΄β€˜π‘›) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
2119, 20bitri 275 . . . . . . . 8 ((π΄β€˜π‘›) ∈ (0...1) ↔ (((π΄β€˜π‘›) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
2221baib 537 . . . . . . 7 (((π΄β€˜π‘›) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) ∈ (0...1) ↔ (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
2317, 18, 22sylancl 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘›) ∈ (0...1) ↔ (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
2413, 23bitr2id 284 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘›) ≀ 1 ↔ (π΄β€˜π‘›) ∈ {0, 1}))
2524ralbidva 3176 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ≀ 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ∈ {0, 1}))
2616ffund 6722 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑃 β†’ Fun 𝐴)
27 fdm 6727 . . . . . 6 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ dom 𝐴 = β„•)
28 eqimss2 4042 . . . . . 6 (dom 𝐴 = β„• β†’ β„• βŠ† dom 𝐴)
2916, 27, 283syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑃 β†’ β„• βŠ† dom 𝐴)
30 funimass4 6957 . . . . 5 ((Fun 𝐴 ∧ β„• βŠ† dom 𝐴) β†’ ((𝐴 β€œ β„•) βŠ† {0, 1} ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ∈ {0, 1}))
3126, 29, 30syl2anc 585 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑃 β†’ ((𝐴 β€œ β„•) βŠ† {0, 1} ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ∈ {0, 1}))
3225, 31bitr4d 282 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ≀ 1 ↔ (𝐴 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
3332pm5.32i 576 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ≀ 1) ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
345, 33bitri 275 1 (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βŠ† wss 3949  {cpr 4631   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  Ξ£csu 15632   βˆ₯ cdvds 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  33380
  Copyright terms: Public domain W3C validator