Theorem eulerpartlemd 34550

Description: Lemma for eulerpart 34566: 𝐷 is the set of distinct part. of 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o	⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d	⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemd	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝐴   𝑓,𝑁   𝑃,𝑔,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑔,𝑘,𝑛)   𝑂(𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eulerpartlemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6843	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑔‘𝑛) = (𝐴‘𝑛))
2	1	breq1d 5110	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → ((𝑔‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
3	2	ralbidv 3161	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
4		eulerpart.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
5	3, 4	elrab2 3651	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
6		2z 12537	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		fzoval 13590	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^2) = (0...(2 − 1))
9		fzo0to2pr 13680	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
10		2m1e1 12280	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
11	10	oveq2i 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(2 − 1)) = (0...1)
12	8, 9, 11	3eqtr3i 2768	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} = (0...1)
13	12	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1} ↔ (𝐴‘𝑛) ∈ (0...1))
14		eulerpart.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
15	14	eulerpartleme 34547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
16	15	simp1bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
17	16	ffvelcdmda 7040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0)
18		1nn0 12431	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		elfz2nn0 13548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ ((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
20		df-3an 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1) ↔ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
21	19, 20	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
22	21	baib 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
23	17, 18, 22	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
24	13, 23	bitr2id 284	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
25	24	ralbidva 3159	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
26	16	ffund 6676	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → Fun 𝐴)
27		fdm 6681	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
28		eqimss2 3995	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 = ℕ → ℕ ⊆ dom 𝐴)
29	16, 27, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → ℕ ⊆ dom 𝐴)
30		funimass4 6908	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ ℕ ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
31	26, 29, 30	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
32	25, 31	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
33	32	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1) ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
34	5, 33	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3401   ⊆ wss 3903  {cpr 4584   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5633  dom cdm 5634   “ cima 5637  Fun wfun 6496  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ↑_m cmap 8777  Fincfn 8897  0cc0 11040  1c1 11041   · cmul 11045   ≤ cle 11181   − cmin 11378  ℕcn 12159  2c2 12214  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  ...cfz 13437  ..^cfzo 13584  Σcsu 15623   ∥ cdvds 16193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-sum 15624

This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  34565