Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemd 34331
Description: Lemma for eulerpart 34347: 𝐷 is the set of distinct part. of 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemd (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝐴   𝑓,𝑁   𝑃,𝑔,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑔,𝑘,𝑛)   𝑂(𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eulerpartlemd
StepHypRef Expression
1 fveq1 6919 . . . . 5 (𝑔 = 𝐴 → (𝑔𝑛) = (𝐴𝑛))
21breq1d 5176 . . . 4 (𝑔 = 𝐴 → ((𝑔𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
32ralbidv 3184 . . 3 (𝑔 = 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1))
4 eulerpart.d . . 3 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
53, 4elrab2 3711 . 2 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1))
6 2z 12675 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
7 fzoval 13717 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0..^2) = (0...(2 − 1))
9 fzo0to2pr 13801 . . . . . . . 8 (0..^2) = {0, 1}
10 2m1e1 12419 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
1110oveq2i 7459 . . . . . . . 8 (0...(2 − 1)) = (0...1)
128, 9, 113eqtr3i 2776 . . . . . . 7 {0, 1} = (0...1)
1312eleq2i 2836 . . . . . 6 ((𝐴𝑛) ∈ {0, 1} ↔ (𝐴𝑛) ∈ (0...1))
14 eulerpart.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
1514eulerpartleme 34328 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
1615simp1bi 1145 . . . . . . . 8 (𝐴𝑃𝐴:ℕ⟶ℕ0)
1716ffvelcdmda 7118 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℕ0)
18 1nn0 12569 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 elfz2nn0 13675 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ ((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
20 df-3an 1089 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1) ↔ (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2119, 20bitri 275 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2221baib 535 . . . . . . 7 (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2317, 18, 22sylancl 585 . . . . . 6 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2413, 23bitr2id 284 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
2524ralbidva 3182 . . . 4 (𝐴𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
2616ffund 6751 . . . . 5 (𝐴𝑃 → Fun 𝐴)
27 fdm 6756 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
28 eqimss2 4068 . . . . . 6 (dom 𝐴 = ℕ → ℕ ⊆ dom 𝐴)
2916, 27, 283syl 18 . . . . 5 (𝐴𝑃 → ℕ ⊆ dom 𝐴)
30 funimass4 6986 . . . . 5 ((Fun 𝐴 ∧ ℕ ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
3126, 29, 30syl2anc 583 . . . 4 (𝐴𝑃 → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
3225, 31bitr4d 282 . . 3 (𝐴𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
3332pm5.32i 574 . 2 ((𝐴𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1) ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
345, 33bitri 275 1 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  {crab 3443  wss 3976  {cpr 4650   class class class wbr 5166  ccnv 5699  dom cdm 5700  cima 5703  Fun wfun 6567  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  m cmap 8884  Fincfn 9003  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189  cle 11325  cmin 11520  cn 12293  2c2 12348  0cn0 12553  cz 12639  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  Σcsu 15734  cdvds 16302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-sum 15735
This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  34346
  Copyright terms: Public domain W3C validator