Theorem eulerpartlemd 33922

Description: Lemma for eulerpart 33938: 𝐷 is the set of distinct part. of 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o	⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d	⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemd	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝐴   𝑓,𝑁   𝑃,𝑔,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑔,𝑘,𝑛)   𝑂(𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eulerpartlemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑔‘𝑛) = (𝐴‘𝑛))
2	1	breq1d 5152	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → ((𝑔‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
3	2	ralbidv 3172	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
4		eulerpart.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
5	3, 4	elrab2 3683	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
6		2z 12616	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		fzoval 13657	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^2) = (0...(2 − 1))
9		fzo0to2pr 13741	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
10		2m1e1 12360	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
11	10	oveq2i 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(2 − 1)) = (0...1)
12	8, 9, 11	3eqtr3i 2763	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} = (0...1)
13	12	eleq2i 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1} ↔ (𝐴‘𝑛) ∈ (0...1))
14		eulerpart.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
15	14	eulerpartleme 33919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
16	15	simp1bi 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
17	16	ffvelcdmda 7088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0)
18		1nn0 12510	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		elfz2nn0 13616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ ((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
20		df-3an 1087	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1) ↔ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
21	19, 20	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
22	21	baib 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
23	17, 18, 22	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴‘𝑛) ≤ 1))
24	13, 23	bitr2id 284	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
25	24	ralbidva 3170	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
26	16	ffund 6720	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → Fun 𝐴)
27		fdm 6725	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
28		eqimss2 4037	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 = ℕ → ℕ ⊆ dom 𝐴)
29	16, 27, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → ℕ ⊆ dom 𝐴)
30		funimass4 6957	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ ℕ ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
31	26, 29, 30	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ {0, 1}))
32	25, 31	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
33	32	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ≤ 1) ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
34	5, 33	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  {crab 3427   ⊆ wss 3944  {cpr 4626   class class class wbr 5142  ^◡ccnv 5671  dom cdm 5672   “ cima 5675  Fun wfun 6536  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8836  Fincfn 8955  0cc0 11130  1c1 11131   · cmul 11135   ≤ cle 11271   − cmin 11466  ℕcn 12234  2c2 12289  ℕ₀cn0 12494  ℤcz 12580  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  Σcsu 15656   ∥ cdvds 16222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-sum 15657

This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  33937