Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemd 33663
Description: Lemma for eulerpart 33679: 𝐷 is the set of distinct part. of 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemd (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,𝐴   𝑓,𝑁   𝑃,𝑔,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝑃(𝑓,π‘˜)   𝑁(𝑔,π‘˜,𝑛)   𝑂(𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem eulerpartlemd
StepHypRef Expression
1 fveq1 6889 . . . . 5 (𝑔 = 𝐴 β†’ (π‘”β€˜π‘›) = (π΄β€˜π‘›))
21breq1d 5157 . . . 4 (𝑔 = 𝐴 β†’ ((π‘”β€˜π‘›) ≀ 1 ↔ (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
32ralbidv 3175 . . 3 (𝑔 = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
4 eulerpart.d . . 3 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
53, 4elrab2 3685 . 2 (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
6 2z 12598 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„€
7 fzoval 13637 . . . . . . . . 9 (2 ∈ β„€ β†’ (0..^2) = (0...(2 βˆ’ 1)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0..^2) = (0...(2 βˆ’ 1))
9 fzo0to2pr 13721 . . . . . . . 8 (0..^2) = {0, 1}
10 2m1e1 12342 . . . . . . . . 9 (2 βˆ’ 1) = 1
1110oveq2i 7422 . . . . . . . 8 (0...(2 βˆ’ 1)) = (0...1)
128, 9, 113eqtr3i 2766 . . . . . . 7 {0, 1} = (0...1)
1312eleq2i 2823 . . . . . 6 ((π΄β€˜π‘›) ∈ {0, 1} ↔ (π΄β€˜π‘›) ∈ (0...1))
14 eulerpart.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
1514eulerpartleme 33660 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
1615simp1bi 1143 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑃 β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
1716ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„•0)
18 1nn0 12492 . . . . . . 7 1 ∈ β„•0
19 elfz2nn0 13596 . . . . . . . . 9 ((π΄β€˜π‘›) ∈ (0...1) ↔ ((π΄β€˜π‘›) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
20 df-3an 1087 . . . . . . . . 9 (((π΄β€˜π‘›) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘›) ≀ 1) ↔ (((π΄β€˜π‘›) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
2119, 20bitri 274 . . . . . . . 8 ((π΄β€˜π‘›) ∈ (0...1) ↔ (((π΄β€˜π‘›) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
2221baib 534 . . . . . . 7 (((π΄β€˜π‘›) ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) ∈ (0...1) ↔ (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
2317, 18, 22sylancl 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘›) ∈ (0...1) ↔ (π΄β€˜π‘›) ≀ 1))
2413, 23bitr2id 283 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘›) ≀ 1 ↔ (π΄β€˜π‘›) ∈ {0, 1}))
2524ralbidva 3173 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ≀ 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ∈ {0, 1}))
2616ffund 6720 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑃 β†’ Fun 𝐴)
27 fdm 6725 . . . . . 6 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ dom 𝐴 = β„•)
28 eqimss2 4040 . . . . . 6 (dom 𝐴 = β„• β†’ β„• βŠ† dom 𝐴)
2916, 27, 283syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑃 β†’ β„• βŠ† dom 𝐴)
30 funimass4 6955 . . . . 5 ((Fun 𝐴 ∧ β„• βŠ† dom 𝐴) β†’ ((𝐴 β€œ β„•) βŠ† {0, 1} ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ∈ {0, 1}))
3126, 29, 30syl2anc 582 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑃 β†’ ((𝐴 β€œ β„•) βŠ† {0, 1} ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ∈ {0, 1}))
3225, 31bitr4d 281 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ≀ 1 ↔ (𝐴 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
3332pm5.32i 573 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) ≀ 1) ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
345, 33bitri 274 1 (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430   βŠ† wss 3947  {cpr 4629   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  Ξ£csu 15636   βˆ₯ cdvds 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-sum 15637
This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  33678
  Copyright terms: Public domain W3C validator