Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpart Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpart 34059
Description: Euler's theorem on partitions, also known as a special case of Glaisher's theorem. Let ๐‘ƒ be the set of all partitions of ๐‘, represented as multisets of positive integers, which is to say functions from โ„• to โ„•0 where the value of the function represents the number of repetitions of an individual element, and the sum of all the elements with repetition equals ๐‘. Then the set ๐‘‚ of all partitions that only consist of odd numbers and the set ๐ท of all partitions which have no repeated elements have the same cardinality. This is Metamath 100 proof #45. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p ๐‘ƒ = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ ((โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜) = ๐‘)}
eulerpart.o ๐‘‚ = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ โ„•) ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›}
eulerpart.d ๐ท = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) โ‰ค 1}
Assertion
Ref Expression
eulerpart (โ™ฏโ€˜๐‘‚) = (โ™ฏโ€˜๐ท)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›   ๐ท,๐‘”   ๐‘“,๐‘,๐‘”,๐‘˜,๐‘›   ๐‘”,๐‘‚,๐‘›   ๐‘ƒ,๐‘”,๐‘˜,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ท(๐‘“,๐‘˜,๐‘›)   ๐‘ƒ(๐‘“)   ๐‘‚(๐‘“,๐‘˜)

Proof of Theorem eulerpart
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ โ„Ž ๐‘š ๐‘œ ๐‘ž ๐‘Ÿ ๐‘  ๐‘ก ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . 3 ๐‘ƒ = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ ((โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜) = ๐‘)}
2 eulerpart.o . . 3 ๐‘‚ = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ โ„•) ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›}
3 eulerpart.d . . 3 ๐ท = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) โ‰ค 1}
4 eqid 2725 . . 3 {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
5 oveq2 7424 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž) = ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘ฅ))
6 oveq2 7424 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2โ†‘๐‘ฆ))
76oveq1d 7431 . . . 4 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘ฅ) = ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
85, 7cbvmpov 7512 . . 3 (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) = (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
9 oveq1 7423 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘š โ†’ (๐‘Ÿ supp โˆ…) = (๐‘š supp โˆ…))
109eleq1d 2810 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘š โ†’ ((๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin โ†” (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin))
1110cbvrabv 3430 . . . 4 {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} = {๐‘š โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin}
1211eqcomi 2734 . . 3 {๐‘š โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin} = {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin}
13 fveq1 6891 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘กโ€˜๐‘Ž) = (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))
1413eleq2d 2811 . . . . . . 7 (๐‘ก = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž) โ†” ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž)))
1514anbi2d 628 . . . . . 6 (๐‘ก = ๐‘Ÿ โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž)) โ†” (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))))
1615opabbidv 5209 . . . . 5 (๐‘ก = ๐‘Ÿ โ†’ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))} = {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))})
1716cbvmptv 5256 . . . 4 (๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))}) = (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))})
18 oveq1 7423 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘  โ†’ (๐‘š supp โˆ…) = (๐‘  supp โˆ…))
1918eleq1d 2810 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘  โ†’ ((๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin โ†” (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin))
2019cbvrabv 3430 . . . . . 6 {๐‘š โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin} = {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin}
2120eqcomi 2734 . . . . 5 {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} = {๐‘š โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin}
22 simpl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ = ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘ฅ)
2322eleq1d 2810 . . . . . . 7 ((๐‘Ž = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ†” ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))
24 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ = ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ = ๐‘ฆ)
2522fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž) = (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))
2624, 25eleq12d 2819 . . . . . . 7 ((๐‘Ž = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž) โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)))
2723, 26anbi12d 630 . . . . . 6 ((๐‘Ž = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ = ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))))
2827cbvopabv 5216 . . . . 5 {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}
2921, 28mpteq12i 5249 . . . 4 (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))}) = (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘š โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})
3017, 29eqtri 2753 . . 3 (๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))}) = (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘š โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})
31 cnveq 5870 . . . . . 6 (โ„Ž = ๐‘“ โ†’ โ—กโ„Ž = โ—ก๐‘“)
3231imaeq1d 6057 . . . . 5 (โ„Ž = ๐‘“ โ†’ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) = (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•))
3332eleq1d 2810 . . . 4 (โ„Ž = ๐‘“ โ†’ ((โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โ†” (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin))
3433cbvabv 2798 . . 3 {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} = {๐‘“ โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
3532sseq1d 4004 . . . 4 (โ„Ž = ๐‘“ โ†’ ((โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ†” (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))
3635cbvrabv 3430 . . 3 {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}}
37 reseq1 5973 . . . . . . . . 9 (๐‘œ = ๐‘ž โ†’ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) = (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))
3837coeq2d 5859 . . . . . . . 8 (๐‘œ = ๐‘ž โ†’ (bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})) = (bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))
3938fveq2d 6896 . . . . . . 7 (๐‘œ = ๐‘ž โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))) = ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))
4039imaeq2d 6058 . . . . . 6 (๐‘œ = ๐‘ž โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))) = ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))
4140fveq2d 6896 . . . . 5 (๐‘œ = ๐‘ž โ†’ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))) = ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))))
4241cbvmptv 5256 . . . 4 (๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) = (๐‘ž โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))))
438eqcomi 2734 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) = (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž))
4443imaeq1i 6055 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))) = ((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))
45 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}
4611, 45mpteq12i 5249 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}) = (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘š โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})
47 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐‘ก โ†’ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž) = (๐‘กโ€˜๐‘Ž))
4847eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž) โ†” ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž)))
4948anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘ก โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž)) โ†” (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))))
5049opabbidv 5209 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘ก โ†’ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))} = {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})
5150cbvmptv 5256 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))}) = (๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})
5246, 29, 513eqtr2i 2759 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}) = (๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})
5352fveq1i 6893 . . . . . . . 8 ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))) = ((๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))
5453imaeq2i 6056 . . . . . . 7 ((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))) = ((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) โ€œ ((๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))
5544, 54eqtri 2753 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))) = ((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) โ€œ ((๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))
5655fveq2i 6895 . . . . 5 ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))) = ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) โ€œ ((๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))
5756mpteq2i 5248 . . . 4 (๐‘ž โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) = (๐‘ž โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) โ€œ ((๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))))
5842, 57eqtri 2753 . . 3 (๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) = (๐‘ž โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) โ€œ ((๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))))
59 eqid 2725 . . 3 (๐‘“ โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜)) = (๐‘“ โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜))
601, 2, 3, 4, 8, 12, 30, 34, 36, 58, 59eulerpartlemn 34058 . 2 ((๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) โ†พ ๐‘‚):๐‘‚โ€“1-1-ontoโ†’๐ท
61 ovex 7449 . . . . . . 7 (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆˆ V
6261rabex 5329 . . . . . 6 {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆˆ V
6362inex1 5312 . . . . 5 ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆˆ V
6463mptex 7231 . . . 4 (๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) โˆˆ V
6564resex 6028 . . 3 ((๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) โ†พ ๐‘‚) โˆˆ V
66 f1oeq1 6822 . . 3 (๐‘” = ((๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) โ†พ ๐‘‚) โ†’ (๐‘”:๐‘‚โ€“1-1-ontoโ†’๐ท โ†” ((๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) โ†พ ๐‘‚):๐‘‚โ€“1-1-ontoโ†’๐ท))
6765, 66spcev 3585 . 2 (((๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) โ†พ ๐‘‚):๐‘‚โ€“1-1-ontoโ†’๐ท โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘”:๐‘‚โ€“1-1-ontoโ†’๐ท)
68 bren 8972 . . 3 (๐‘‚ โ‰ˆ ๐ท โ†” โˆƒ๐‘” ๐‘”:๐‘‚โ€“1-1-ontoโ†’๐ท)
69 hasheni 14339 . . 3 (๐‘‚ โ‰ˆ ๐ท โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‚) = (โ™ฏโ€˜๐ท))
7068, 69sylbir 234 . 2 (โˆƒ๐‘” ๐‘”:๐‘‚โ€“1-1-ontoโ†’๐ท โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‚) = (โ™ฏโ€˜๐ท))
7160, 67, 70mp2b 10 1 (โ™ฏโ€˜๐‘‚) = (โ™ฏโ€˜๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 394   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  {cab 2702  โˆ€wral 3051  {crab 3419   โˆฉ cin 3938   โІ wss 3939  โˆ…c0 4318  ๐’ซ cpw 4598   class class class wbr 5143  {copab 5205   โ†ฆ cmpt 5226  โ—กccnv 5671   โ†พ cres 5674   โ€œ cima 5675   โˆ˜ ccom 5676  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   โˆˆ cmpo 7418   supp csupp 8163   โ†‘m cmap 8843   โ‰ˆ cen 8959  Fincfn 8962  1c1 11139   ยท cmul 11143   โ‰ค cle 11279  โ„•cn 12242  2c2 12297  โ„•0cn0 12502  โ†‘cexp 14058  โ™ฏchash 14321  ฮฃcsu 15664   โˆฅ cdvds 16230  bitscbits 16393  ๐Ÿญcind 33686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-ac2 10486  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-ac 10139  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-dvds 16231  df-bits 16396  df-ind 33687
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator