Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpart Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpart 33911
Description: Euler's theorem on partitions, also known as a special case of Glaisher's theorem. Let ๐‘ƒ be the set of all partitions of ๐‘, represented as multisets of positive integers, which is to say functions from โ„• to โ„•0 where the value of the function represents the number of repetitions of an individual element, and the sum of all the elements with repetition equals ๐‘. Then the set ๐‘‚ of all partitions that only consist of odd numbers and the set ๐ท of all partitions which have no repeated elements have the same cardinality. This is Metamath 100 proof #45. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p ๐‘ƒ = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ ((โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜) = ๐‘)}
eulerpart.o ๐‘‚ = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ โ„•) ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›}
eulerpart.d ๐ท = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) โ‰ค 1}
Assertion
Ref Expression
eulerpart (โ™ฏโ€˜๐‘‚) = (โ™ฏโ€˜๐ท)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›   ๐ท,๐‘”   ๐‘“,๐‘,๐‘”,๐‘˜,๐‘›   ๐‘”,๐‘‚,๐‘›   ๐‘ƒ,๐‘”,๐‘˜,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ท(๐‘“,๐‘˜,๐‘›)   ๐‘ƒ(๐‘“)   ๐‘‚(๐‘“,๐‘˜)

Proof of Theorem eulerpart
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ โ„Ž ๐‘š ๐‘œ ๐‘ž ๐‘Ÿ ๐‘  ๐‘ก ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . 3 ๐‘ƒ = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ ((โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜) = ๐‘)}
2 eulerpart.o . . 3 ๐‘‚ = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ โ„•) ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›}
3 eulerpart.d . . 3 ๐ท = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) โ‰ค 1}
4 eqid 2726 . . 3 {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
5 oveq2 7413 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž) = ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘ฅ))
6 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2โ†‘๐‘ฆ))
76oveq1d 7420 . . . 4 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘ฅ) = ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
85, 7cbvmpov 7500 . . 3 (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) = (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
9 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘š โ†’ (๐‘Ÿ supp โˆ…) = (๐‘š supp โˆ…))
109eleq1d 2812 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘š โ†’ ((๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin โ†” (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin))
1110cbvrabv 3436 . . . 4 {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} = {๐‘š โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin}
1211eqcomi 2735 . . 3 {๐‘š โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin} = {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin}
13 fveq1 6884 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘กโ€˜๐‘Ž) = (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))
1413eleq2d 2813 . . . . . . 7 (๐‘ก = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž) โ†” ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž)))
1514anbi2d 628 . . . . . 6 (๐‘ก = ๐‘Ÿ โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž)) โ†” (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))))
1615opabbidv 5207 . . . . 5 (๐‘ก = ๐‘Ÿ โ†’ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))} = {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))})
1716cbvmptv 5254 . . . 4 (๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))}) = (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))})
18 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘  โ†’ (๐‘š supp โˆ…) = (๐‘  supp โˆ…))
1918eleq1d 2812 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘  โ†’ ((๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin โ†” (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin))
2019cbvrabv 3436 . . . . . 6 {๐‘š โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin} = {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin}
2120eqcomi 2735 . . . . 5 {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} = {๐‘š โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin}
22 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ = ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘ฅ)
2322eleq1d 2812 . . . . . . 7 ((๐‘Ž = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ†” ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))
24 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ = ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ = ๐‘ฆ)
2522fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž) = (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))
2624, 25eleq12d 2821 . . . . . . 7 ((๐‘Ž = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž) โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ)))
2723, 26anbi12d 630 . . . . . 6 ((๐‘Ž = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ = ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))))
2827cbvopabv 5214 . . . . 5 {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}
2921, 28mpteq12i 5247 . . . 4 (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))}) = (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘š โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})
3017, 29eqtri 2754 . . 3 (๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))}) = (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘š โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})
31 cnveq 5867 . . . . . 6 (โ„Ž = ๐‘“ โ†’ โ—กโ„Ž = โ—ก๐‘“)
3231imaeq1d 6052 . . . . 5 (โ„Ž = ๐‘“ โ†’ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) = (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•))
3332eleq1d 2812 . . . 4 (โ„Ž = ๐‘“ โ†’ ((โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โ†” (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin))
3433cbvabv 2799 . . 3 {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} = {๐‘“ โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
3532sseq1d 4008 . . . 4 (โ„Ž = ๐‘“ โ†’ ((โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ†” (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))
3635cbvrabv 3436 . . 3 {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}}
37 reseq1 5969 . . . . . . . . 9 (๐‘œ = ๐‘ž โ†’ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) = (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))
3837coeq2d 5856 . . . . . . . 8 (๐‘œ = ๐‘ž โ†’ (bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})) = (bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))
3938fveq2d 6889 . . . . . . 7 (๐‘œ = ๐‘ž โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))) = ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))
4039imaeq2d 6053 . . . . . 6 (๐‘œ = ๐‘ž โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))) = ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))
4140fveq2d 6889 . . . . 5 (๐‘œ = ๐‘ž โ†’ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))) = ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))))
4241cbvmptv 5254 . . . 4 (๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) = (๐‘ž โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))))
438eqcomi 2735 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) = (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž))
4443imaeq1i 6050 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))) = ((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))
45 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}
4611, 45mpteq12i 5247 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}) = (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘š โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘š supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})
47 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐‘ก โ†’ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž) = (๐‘กโ€˜๐‘Ž))
4847eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž) โ†” ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž)))
4948anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘ก โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž)) โ†” (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))))
5049opabbidv 5207 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘ก โ†’ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))} = {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})
5150cbvmptv 5254 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘Ž))}) = (๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})
5246, 29, 513eqtr2i 2760 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}) = (๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})
5352fveq1i 6886 . . . . . . . 8 ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))) = ((๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))
5453imaeq2i 6051 . . . . . . 7 ((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))) = ((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) โ€œ ((๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))
5544, 54eqtri 2754 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))) = ((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) โ€œ ((๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))
5655fveq2i 6888 . . . . 5 ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))) = ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) โ€œ ((๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))
5756mpteq2i 5246 . . . 4 (๐‘ž โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) = (๐‘ž โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) โ€œ ((๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))))
5842, 57eqtri 2754 . . 3 (๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) = (๐‘ž โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘) ยท ๐‘Ž)) โ€œ ((๐‘ก โˆˆ {๐‘  โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘  supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘กโ€˜๐‘Ž))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘ž โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}))))))
59 eqid 2726 . . 3 (๐‘“ โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜)) = (๐‘“ โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜))
601, 2, 3, 4, 8, 12, 30, 34, 36, 58, 59eulerpartlemn 33910 . 2 ((๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) โ†พ ๐‘‚):๐‘‚โ€“1-1-ontoโ†’๐ท
61 ovex 7438 . . . . . . 7 (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆˆ V
6261rabex 5325 . . . . . 6 {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆˆ V
6362inex1 5310 . . . . 5 ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆˆ V
6463mptex 7220 . . . 4 (๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) โˆˆ V
6564resex 6023 . . 3 ((๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) โ†พ ๐‘‚) โˆˆ V
66 f1oeq1 6815 . . 3 (๐‘” = ((๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) โ†พ ๐‘‚) โ†’ (๐‘”:๐‘‚โ€“1-1-ontoโ†’๐ท โ†” ((๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) โ†พ ๐‘‚):๐‘‚โ€“1-1-ontoโ†’๐ท))
6765, 66spcev 3590 . 2 (((๐‘œ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โІ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}} โˆฉ {โ„Ž โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ€œ ((๐‘Ÿ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})))))) โ†พ ๐‘‚):๐‘‚โ€“1-1-ontoโ†’๐ท โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘”:๐‘‚โ€“1-1-ontoโ†’๐ท)
68 bren 8951 . . 3 (๐‘‚ โ‰ˆ ๐ท โ†” โˆƒ๐‘” ๐‘”:๐‘‚โ€“1-1-ontoโ†’๐ท)
69 hasheni 14313 . . 3 (๐‘‚ โ‰ˆ ๐ท โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‚) = (โ™ฏโ€˜๐ท))
7068, 69sylbir 234 . 2 (โˆƒ๐‘” ๐‘”:๐‘‚โ€“1-1-ontoโ†’๐ท โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‚) = (โ™ฏโ€˜๐ท))
7160, 67, 70mp2b 10 1 (โ™ฏโ€˜๐‘‚) = (โ™ฏโ€˜๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 395   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  {cab 2703  โˆ€wral 3055  {crab 3426   โˆฉ cin 3942   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  ๐’ซ cpw 4597   class class class wbr 5141  {copab 5203   โ†ฆ cmpt 5224  โ—กccnv 5668   โ†พ cres 5671   โ€œ cima 5672   โˆ˜ ccom 5673  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6536  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407   supp csupp 8146   โ†‘m cmap 8822   โ‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  1c1 11113   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ†‘cexp 14032  โ™ฏchash 14295  ฮฃcsu 15638   โˆฅ cdvds 16204  bitscbits 16367  ๐Ÿญcind 33538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-dvds 16205  df-bits 16370  df-ind 33539
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator