Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemv 33363
Description: Lemma for eulerpart 33381. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemv (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐴   𝑓,𝑁,π‘˜   𝑃,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑓)
Proof of Theorem eulerpartlemv
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . 3 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
21eulerpartleme 33362 . 2 (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
3 cnvimass 6081 . . . . . . . . 9 (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† dom 𝐴
4 fdm 6727 . . . . . . . . 9 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ dom 𝐴 = β„•)
53, 4sseqtrid 4035 . . . . . . . 8 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† β„•)
6 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
75sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
86, 7ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
97nnnn0d 12532 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
108, 9nn0mulcld 12537 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„•0)
1110nn0cnd 12534 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„‚)
12 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•)))
1312eldifad 3961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1412eldifbd 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•))
15 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
16 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ 𝐴 Fn β„•)
17 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 Fn β„• β†’ (π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•)))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•)))
1914, 18mtbid 324 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ Β¬ (π‘˜ ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•))
20 imnan 401 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•) ↔ Β¬ (π‘˜ ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•))
2119, 20sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•))
2213, 21mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•)
2315, 13ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
24 elnn0 12474 . . . . . . . . . . . 12 ((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•0 ↔ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„• ∨ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
2523, 24sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„• ∨ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
26 orel1 888 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„• β†’ (((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„• ∨ (π΄β€˜π‘˜) = 0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
2722, 25, 26sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
2827oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = (0 Β· π‘˜))
2913nncnd 12228 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
3029mul02d 11412 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (0 Β· π‘˜) = 0)
3128, 30eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 0)
32 nnuz 12865 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3332eqimssi 4043 . . . . . . . . 9 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1))
355, 11, 31, 34sumss 15670 . . . . . . 7 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
3635eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
3736adantr 482 . . . . 5 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
3837eqeq1d 2735 . . . 4 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
3938pm5.32i 576 . . 3 (((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
40 df-3an 1090 . . 3 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
41 df-3an 1090 . . 3 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
4239, 40, 413bitr4i 303 . 2 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
432, 42bitri 275 1 (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  Ξ£csu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator