Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemv 33351
Description: Lemma for eulerpart 33369. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemv (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐴   𝑓,𝑁,π‘˜   𝑃,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑓)
Proof of Theorem eulerpartlemv
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . 3 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
21eulerpartleme 33350 . 2 (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
3 cnvimass 6077 . . . . . . . . 9 (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† dom 𝐴
4 fdm 6723 . . . . . . . . 9 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ dom 𝐴 = β„•)
53, 4sseqtrid 4033 . . . . . . . 8 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† β„•)
6 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
75sselda 3981 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
86, 7ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
97nnnn0d 12528 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
108, 9nn0mulcld 12533 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„•0)
1110nn0cnd 12530 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„‚)
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•)))
1312eldifad 3959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1412eldifbd 3960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•))
15 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
16 ffn 6714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ 𝐴 Fn β„•)
17 elpreima 7056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 Fn β„• β†’ (π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•)))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•)))
1914, 18mtbid 323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ Β¬ (π‘˜ ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•))
20 imnan 400 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•) ↔ Β¬ (π‘˜ ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•))
2119, 20sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•))
2213, 21mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•)
2315, 13ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
24 elnn0 12470 . . . . . . . . . . . 12 ((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•0 ↔ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„• ∨ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
2523, 24sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„• ∨ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
26 orel1 887 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„• β†’ (((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„• ∨ (π΄β€˜π‘˜) = 0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
2722, 25, 26sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
2827oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = (0 Β· π‘˜))
2913nncnd 12224 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
3029mul02d 11408 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (0 Β· π‘˜) = 0)
3128, 30eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 0)
32 nnuz 12861 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3332eqimssi 4041 . . . . . . . . 9 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1))
355, 11, 31, 34sumss 15666 . . . . . . 7 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
3635eqcomd 2738 . . . . . 6 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
3736adantr 481 . . . . 5 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
3837eqeq1d 2734 . . . 4 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
3938pm5.32i 575 . . 3 (((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
40 df-3an 1089 . . 3 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
41 df-3an 1089 . . 3 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
4239, 40, 413bitr4i 302 . 2 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
432, 42bitri 274 1 (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€β‰₯cuz 12818  Ξ£csu 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator