Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemv 34054
Description: Lemma for eulerpart 34072. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemv (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐴   𝑓,𝑁,π‘˜   𝑃,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑓)
Proof of Theorem eulerpartlemv
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . 3 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
21eulerpartleme 34053 . 2 (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
3 cnvimass 6085 . . . . . . . . 9 (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† dom 𝐴
4 fdm 6730 . . . . . . . . 9 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ dom 𝐴 = β„•)
53, 4sseqtrid 4030 . . . . . . . 8 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† β„•)
6 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
75sselda 3977 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
86, 7ffvelcdmd 7092 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
97nnnn0d 12562 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
108, 9nn0mulcld 12567 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„•0)
1110nn0cnd 12564 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„‚)
12 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•)))
1312eldifad 3957 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1412eldifbd 3958 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•))
15 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
16 ffn 6721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ 𝐴 Fn β„•)
17 elpreima 7064 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 Fn β„• β†’ (π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•)))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•)))
1914, 18mtbid 323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ Β¬ (π‘˜ ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•))
20 imnan 398 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•) ↔ Β¬ (π‘˜ ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•))
2119, 20sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•))
2213, 21mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•)
2315, 13ffvelcdmd 7092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
24 elnn0 12504 . . . . . . . . . . . 12 ((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•0 ↔ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„• ∨ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
2523, 24sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„• ∨ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
26 orel1 886 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„• β†’ (((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„• ∨ (π΄β€˜π‘˜) = 0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
2722, 25, 26sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
2827oveq1d 7432 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = (0 Β· π‘˜))
2913nncnd 12258 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
3029mul02d 11442 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ (0 Β· π‘˜) = 0)
3128, 30eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (◑𝐴 β€œ β„•))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 0)
32 nnuz 12895 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3332eqimssi 4038 . . . . . . . . 9 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1))
355, 11, 31, 34sumss 15702 . . . . . . 7 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
3635eqcomd 2731 . . . . . 6 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
3736adantr 479 . . . . 5 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
3837eqeq1d 2727 . . . 4 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
3938pm5.32i 573 . . 3 (((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
40 df-3an 1086 . . 3 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
41 df-3an 1086 . . 3 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
4239, 40, 413bitr4i 302 . 2 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
432, 42bitri 274 1 (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   βˆ– cdif 3942   βŠ† wss 3945  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680   Fn wfn 6542  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   ↑m cmap 8843  Fincfn 8962  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  β„€β‰₯cuz 12852  Ξ£csu 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator