Theorem eulerpartlemv 34396

Description: Lemma for eulerpart 34414. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemv	⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑓,𝑁,𝑘   𝑃,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpart.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
2	1	eulerpartleme 34395	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
3		cnvimass 6069	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ dom 𝐴
4		fdm 6715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
5	3, 4	sseqtrid 4001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ ℕ)
6		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
7	5	sselda 3958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	6, 7	ffvelcdmd 7075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
9	7	nnnn0d 12562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 12567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ)))
13	12	eldifad 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
14	12	eldifbd 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ))
15		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
16		ffn 6706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → 𝐴 Fn ℕ)
17		elpreima 7048	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 Fn ℕ → (𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)))
19	14, 18	mtbid 324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
20		imnan 399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
21	19, 20	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
22	13, 21	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)
23	15, 13	ffvelcdmd 7075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
24		elnn0 12503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0))
25	23, 24	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0))
26		orel1 888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0) → (𝐴‘𝑘) = 0))
27	22, 25, 26	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
28	27	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
29	13	nncnd 12256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
30	29	mul02d 11433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (0 · 𝑘) = 0)
31	28, 30	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 0)
32		nnuz 12895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
33	32	eqimssi 4019	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → ℕ ⊆ (ℤ≥‘1))
35	5, 11, 31, 34	sumss 15740	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
36	35	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
38	37	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
39	38	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ (((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
40		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
41		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
42	39, 40, 41	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
43	2, 42	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654   “ cima 5657   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8959  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤ_≥cuz 12852  Σcsu 15702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703

This theorem is referenced by: (None)