Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemv 31863
 Description: Lemma for eulerpart 31881. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemv (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑓,𝑁,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemv
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . 3 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
21eulerpartleme 31862 . 2 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
3 cnvimass 5926 . . . . . . . . 9 (𝐴 “ ℕ) ⊆ dom 𝐴
4 fdm 6511 . . . . . . . . 9 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
53, 4sseqtrid 3946 . . . . . . . 8 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 “ ℕ) ⊆ ℕ)
6 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
75sselda 3894 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
86, 7ffvelrnd 6849 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → (𝐴𝑘) ∈ ℕ0)
97nnnn0d 12007 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
108, 9nn0mulcld 12012 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 12009 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
12 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ)))
1312eldifad 3872 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1412eldifbd 3873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ))
15 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
16 ffn 6503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴:ℕ⟶ℕ0𝐴 Fn ℕ)
17 elpreima 6824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 Fn ℕ → (𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ)))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ)))
1914, 18mtbid 327 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ))
20 imnan 403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ))
2119, 20sylibr 237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ))
2213, 21mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ)
2315, 13ffvelrnd 6849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝐴𝑘) ∈ ℕ0)
24 elnn0 11949 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴𝑘) = 0))
2523, 24sylib 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴𝑘) = 0))
26 orel1 886 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ → (((𝐴𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴𝑘) = 0) → (𝐴𝑘) = 0))
2722, 25, 26sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝐴𝑘) = 0)
2827oveq1d 7171 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
2913nncnd 11703 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
3029mul02d 10889 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (0 · 𝑘) = 0)
3128, 30eqtrd 2793 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 0)
32 nnuz 12334 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
3332eqimssi 3952 . . . . . . . . 9 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → ℕ ⊆ (ℤ‘1))
355, 11, 31, 34sumss 15142 . . . . . . 7 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
3635eqcomd 2764 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘))
3736adantr 484 . . . . 5 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘))
3837eqeq1d 2760 . . . 4 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
3938pm5.32i 578 . . 3 (((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
40 df-3an 1086 . . 3 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
41 df-3an 1086 . . 3 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
4239, 40, 413bitr4i 306 . 2 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
432, 42bitri 278 1 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074   ∖ cdif 3857   ⊆ wss 3860  ◡ccnv 5527  dom cdm 5528   “ cima 5531   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ↑m cmap 8422  Fincfn 8540  0cc0 10588  1c1 10589   · cmul 10593  ℕcn 11687  ℕ0cn0 11947  ℤ≥cuz 12295  Σcsu 15103 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-sum 15104 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator