Theorem eulerpartlemv 33300

Description: Lemma for eulerpart 33318. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemv	⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑓,𝑁,𝑘   𝑃,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpart.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
2	1	eulerpartleme 33299	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
3		cnvimass 6076	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ dom 𝐴
4		fdm 6722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
5	3, 4	sseqtrid 4032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ ℕ)
6		simpl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
7	5	sselda 3980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	6, 7	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
9	7	nnnn0d 12527	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 12532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
12		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ)))
13	12	eldifad 3958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
14	12	eldifbd 3959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ))
15		simpl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
16		ffn 6713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → 𝐴 Fn ℕ)
17		elpreima 7054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 Fn ℕ → (𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)))
19	14, 18	mtbid 324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
20		imnan 401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
21	19, 20	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
22	13, 21	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)
23	15, 13	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
24		elnn0 12469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0))
25	23, 24	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0))
26		orel1 888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0) → (𝐴‘𝑘) = 0))
27	22, 25, 26	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
28	27	oveq1d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
29	13	nncnd 12223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
30	29	mul02d 11407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (0 · 𝑘) = 0)
31	28, 30	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 0)
32		nnuz 12860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
33	32	eqimssi 4040	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → ℕ ⊆ (ℤ≥‘1))
35	5, 11, 31, 34	sumss 15665	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
36	35	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
37	36	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
38	37	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
39	38	pm5.32i 576	. . 3 ⊢ (((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
40		df-3an 1090	. . 3 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
41		df-3an 1090	. . 3 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
42	39, 40, 41	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
43	2, 42	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   ∖ cdif 3943   ⊆ wss 3946  ^◡ccnv 5673  dom cdm 5674   “ cima 5677   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403   ↑_m cmap 8815  Fincfn 8934  0cc0 11105  1c1 11106   · cmul 11110  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12467  ℤ_≥cuz 12817  Σcsu 15627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-rp 12970  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-seq 13962  df-exp 14023  df-hash 14286  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15427  df-sum 15628

This theorem is referenced by: (None)