Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemv 31239
Description: Lemma for eulerpart 31257. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemv (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑓,𝑁,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemv
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . 3 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
21eulerpartleme 31238 . 2 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
3 cnvimass 5825 . . . . . . . . 9 (𝐴 “ ℕ) ⊆ dom 𝐴
4 fdm 6390 . . . . . . . . 9 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
53, 4sseqtrid 3940 . . . . . . . 8 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 “ ℕ) ⊆ ℕ)
6 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
75sselda 3889 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
86, 7ffvelrnd 6717 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → (𝐴𝑘) ∈ ℕ0)
97nnnn0d 11803 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
108, 9nn0mulcld 11808 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11805 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ)))
1312eldifad 3871 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1412eldifbd 3872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ))
15 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
16 ffn 6382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴:ℕ⟶ℕ0𝐴 Fn ℕ)
17 elpreima 6693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 Fn ℕ → (𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ)))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ)))
1914, 18mtbid 325 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ))
20 imnan 400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ))
2119, 20sylibr 235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ))
2213, 21mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ)
2315, 13ffvelrnd 6717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝐴𝑘) ∈ ℕ0)
24 elnn0 11747 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴𝑘) = 0))
2523, 24sylib 219 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴𝑘) = 0))
26 orel1 883 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ → (((𝐴𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴𝑘) = 0) → (𝐴𝑘) = 0))
2722, 25, 26sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝐴𝑘) = 0)
2827oveq1d 7031 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
2913nncnd 11502 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
3029mul02d 10685 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (0 · 𝑘) = 0)
3128, 30eqtrd 2831 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 0)
32 nnuz 12130 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
3332eqimssi 3946 . . . . . . . . 9 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → ℕ ⊆ (ℤ‘1))
355, 11, 31, 34sumss 14914 . . . . . . 7 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
3635eqcomd 2801 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘))
3736adantr 481 . . . . 5 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘))
3837eqeq1d 2797 . . . 4 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
3938pm5.32i 575 . . 3 (((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
40 df-3an 1082 . . 3 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
41 df-3an 1082 . . 3 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
4239, 40, 413bitr4i 304 . 2 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
432, 42bitri 276 1 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  {crab 3109  cdif 3856  wss 3859  ccnv 5442  dom cdm 5443  cima 5446   Fn wfn 6220  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  𝑚 cmap 8256  Fincfn 8357  0cc0 10383  1c1 10384   · cmul 10388  cn 11486  0cn0 11745  cuz 12093  Σcsu 14876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator