Theorem eulerpartlemv 34366

Description: Lemma for eulerpart 34384. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemv	⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑓,𝑁,𝑘   𝑃,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpart.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
2	1	eulerpartleme 34365	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
3		cnvimass 6100	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ dom 𝐴
4		fdm 6745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
5	3, 4	sseqtrid 4026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ ℕ)
6		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
7	5	sselda 3983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	6, 7	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
9	7	nnnn0d 12587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ)))
13	12	eldifad 3963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
14	12	eldifbd 3964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ))
15		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
16		ffn 6736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → 𝐴 Fn ℕ)
17		elpreima 7078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 Fn ℕ → (𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)))
19	14, 18	mtbid 324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
20		imnan 399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
21	19, 20	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
22	13, 21	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)
23	15, 13	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
24		elnn0 12528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0))
25	23, 24	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0))
26		orel1 889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0) → (𝐴‘𝑘) = 0))
27	22, 25, 26	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
28	27	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
29	13	nncnd 12282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
30	29	mul02d 11459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (0 · 𝑘) = 0)
31	28, 30	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 0)
32		nnuz 12921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
33	32	eqimssi 4044	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → ℕ ⊆ (ℤ≥‘1))
35	5, 11, 31, 34	sumss 15760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
36	35	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
38	37	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
39	38	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ (((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
40		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
41		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
42	39, 40, 41	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
43	2, 42	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685   “ cima 5688   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤ_≥cuz 12878  Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723

This theorem is referenced by: (None)