Theorem eulerpartlemv 34384

Description: Lemma for eulerpart 34402. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemv	⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑓,𝑁,𝑘   𝑃,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpart.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
2	1	eulerpartleme 34383	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
3		cnvimass 6036	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ dom 𝐴
4		fdm 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
5	3, 4	sseqtrid 3972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ ℕ)
6		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
7	5	sselda 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	6, 7	ffvelcdmd 7024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
9	7	nnnn0d 12448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 12453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ)))
13	12	eldifad 3909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
14	12	eldifbd 3910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ))
15		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
16		ffn 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → 𝐴 Fn ℕ)
17		elpreima 6997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 Fn ℕ → (𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)))
19	14, 18	mtbid 324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
20		imnan 399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
21	19, 20	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
22	13, 21	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)
23	15, 13	ffvelcdmd 7024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
24		elnn0 12389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0))
25	23, 24	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0))
26		orel1 888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0) → (𝐴‘𝑘) = 0))
27	22, 25, 26	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
28	27	oveq1d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
29	13	nncnd 12147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
30	29	mul02d 11317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (0 · 𝑘) = 0)
31	28, 30	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 0)
32		nnuz 12781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
33	32	eqimssi 3990	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → ℕ ⊆ (ℤ≥‘1))
35	5, 11, 31, 34	sumss 15637	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
36	35	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
38	37	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
39	38	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ (((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
40		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
41		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
42	39, 40, 41	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
43	2, 42	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619   “ cima 5622   Fn wfn 6482  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  Fincfn 8875  0cc0 11012  1c1 11013   · cmul 11017  ℕcn 12131  ℕ₀cn0 12387  ℤ_≥cuz 12738  Σcsu 15599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-clim 15401  df-sum 15600

This theorem is referenced by: (None)