Theorem eulerpartlemv 34551

Description: Lemma for eulerpart 34569. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemv	⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑓,𝑁,𝑘   𝑃,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpart.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
2	1	eulerpartleme 34550	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
3		cnvimass 6037	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ dom 𝐴
4		fdm 6667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
5	3, 4	sseqtrid 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ ℕ)
6		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
7	5	sselda 3918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	6, 7	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
9	7	nnnn0d 12492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 12497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
12		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ)))
13	12	eldifad 3898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
14	12	eldifbd 3899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ))
15		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
16		ffn 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → 𝐴 Fn ℕ)
17		elpreima 7002	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 Fn ℕ → (𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)))
19	14, 18	mtbid 325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
20		imnan 400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
21	19, 20	sylibr 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
22	13, 21	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)
23	15, 13	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
24		elnn0 12433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0))
25	23, 24	sylib 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0))
26		orel1 890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0) → (𝐴‘𝑘) = 0))
27	22, 25, 26	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
28	27	oveq1d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
29	13	nncnd 12184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
30	29	mul02d 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (0 · 𝑘) = 0)
31	28, 30	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 0)
32		nnuz 12821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
33	32	eqimssi 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → ℕ ⊆ (ℤ≥‘1))
35	5, 11, 31, 34	sumss 15680	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
36	35	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
37	36	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
38	37	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
39	38	pm5.32i 575	. . 3 ⊢ (((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
40		df-3an 1090	. . 3 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
41		df-3an 1090	. . 3 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
42	39, 40, 41	3bitr4i 304	. 2 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
43	2, 42	bitri 276	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 849   ∧ w3a 1088   = wceq 1543   ∈ wcel 2115  {crab 3388   ∖ cdif 3883   ⊆ wss 3886  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621   “ cima 5624   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ↑_m cmap 8766  Fincfn 8886  0cc0 11032  1c1 11033   · cmul 11037  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ℤ_≥cuz 12782  Σcsu 15642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rmo 3341  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7934  df-2nd 7935  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9418  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-sum 15643

This theorem is referenced by: (None)