Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemr 33014
Description: Lemma for eulerpart 33022. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemr 𝑂 = ((𝑇 ∩ 𝑅) ∩ 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝑛,𝑧   𝑓,𝐽,𝑛   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)

Proof of Theorem eulerpartlemr
Dummy variable β„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3931 . . . 4 (β„Ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅))
21anbi1i 625 . . 3 ((β„Ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃) ↔ ((β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃))
3 elin 3931 . . 3 (β„Ž ∈ ((𝑇 ∩ 𝑅) ∩ 𝑃) ↔ (β„Ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃))
4 eulerpart.p . . . . 5 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
5 eulerpart.o . . . . 5 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
6 eulerpart.d . . . . 5 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
74, 5, 6eulerpartlemo 33005 . . . 4 (β„Ž ∈ 𝑂 ↔ (β„Ž ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
8 cnveq 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = β„Ž β†’ ◑𝑓 = β—‘β„Ž)
98imaeq1d 6017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = β„Ž β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (β—‘β„Ž β€œ β„•))
109eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = β„Ž β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
11 fveq1 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = β„Ž β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (β„Žβ€˜π‘˜))
1211oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = β„Ž β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
1312sumeq2sdv 15596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = β„Ž β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
1413eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = β„Ž β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
1510, 14anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = β„Ž β†’ (((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)))
1615, 4elrab2 3653 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž ∈ 𝑃 ↔ (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ ((β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)))
1716simplbi 499 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•))
18 cnvimass 6038 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† dom β„Ž
19 nn0ex 12426 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„•0 ∈ V
20 nnex 12166 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„• ∈ V
2119, 20elmap 8816 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ β„Ž:β„•βŸΆβ„•0)
22 fdm 6682 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž:β„•βŸΆβ„•0 β†’ dom β„Ž = β„•)
2321, 22sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) β†’ dom β„Ž = β„•)
2418, 23sseqtrid 4001 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) β†’ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† β„•)
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† β„•)
2625sselda 3949 . . . . . . . . . 10 ((β„Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2726ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„•)
2827biantrurd 534 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
2917biantrurd 534 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ ((βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))))
3016simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ ((β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
3130simpld 496 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)
3231biantrud 533 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)) ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)))
3328, 29, 323bitrd 305 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)))
34 dfss3 3937 . . . . . . . . . 10 ((β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ 𝐽)
35 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑛 β†’ (2 βˆ₯ 𝑧 ↔ 2 βˆ₯ 𝑛))
3635notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑛 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
37 eulerpart.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
3836, 37elrab2 3653 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ 𝐽 ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
3938ralbii 3097 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)(𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
40 r19.26 3115 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)(𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
4134, 39, 403bitri 297 . . . . . . . . 9 ((β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
4241anbi2i 624 . . . . . . . 8 ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ↔ (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
4342anbi1i 625 . . . . . . 7 (((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin) ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
4433, 43bitr4di 289 . . . . . 6 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)))
459sseq1d 3980 . . . . . . . 8 (𝑓 = β„Ž β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
46 eulerpart.t . . . . . . . 8 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
4745, 46elrab2 3653 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ 𝑇 ↔ (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
48 vex 3452 . . . . . . . 8 β„Ž ∈ V
49 eulerpart.r . . . . . . . 8 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
5048, 10, 49elab2 3639 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ 𝑅 ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)
5147, 50anbi12i 628 . . . . . 6 ((β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅) ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
5244, 51bitr4di 289 . . . . 5 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅)))
5352pm5.32i 576 . . . 4 ((β„Ž ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (β„Ž ∈ 𝑃 ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅)))
54 ancom 462 . . . 4 ((β„Ž ∈ 𝑃 ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅)) ↔ ((β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃))
557, 53, 543bitri 297 . . 3 (β„Ž ∈ 𝑂 ↔ ((β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃))
562, 3, 553bitr4ri 304 . 2 (β„Ž ∈ 𝑂 ↔ β„Ž ∈ ((𝑇 ∩ 𝑅) ∩ 𝑃))
5756eqriv 2734 1 𝑂 = ((𝑇 ∩ 𝑅) ∩ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065  {crab 3410   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565   class class class wbr 5110  {copab 5172   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364   supp csupp 8097   ↑m cmap 8772  Fincfn 8890  1c1 11059   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β†‘cexp 13974  Ξ£csu 15577   βˆ₯ cdvds 16143  bitscbits 16306  πŸ­cind 32649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-sum 15578
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator