Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemr 33930
Description: Lemma for eulerpart 33938. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemr 𝑂 = ((𝑇 ∩ 𝑅) ∩ 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝑛,𝑧   𝑓,𝐽,𝑛   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)
Proof of Theorem eulerpartlemr
Dummy variable β„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3960 . . . 4 (β„Ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅))
21anbi1i 623 . . 3 ((β„Ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃) ↔ ((β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃))
3 elin 3960 . . 3 (β„Ž ∈ ((𝑇 ∩ 𝑅) ∩ 𝑃) ↔ (β„Ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃))
4 eulerpart.p . . . . 5 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
5 eulerpart.o . . . . 5 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
6 eulerpart.d . . . . 5 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
74, 5, 6eulerpartlemo 33921 . . . 4 (β„Ž ∈ 𝑂 ↔ (β„Ž ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
8 cnveq 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = β„Ž β†’ ◑𝑓 = β—‘β„Ž)
98imaeq1d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = β„Ž β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (β—‘β„Ž β€œ β„•))
109eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = β„Ž β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
11 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = β„Ž β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (β„Žβ€˜π‘˜))
1211oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = β„Ž β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
1312sumeq2sdv 15674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = β„Ž β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
1413eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = β„Ž β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
1510, 14anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = β„Ž β†’ (((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)))
1615, 4elrab2 3683 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž ∈ 𝑃 ↔ (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ ((β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)))
1716simplbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•))
18 cnvimass 6079 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† dom β„Ž
19 nn0ex 12500 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„•0 ∈ V
20 nnex 12240 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„• ∈ V
2119, 20elmap 8881 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ β„Ž:β„•βŸΆβ„•0)
22 fdm 6725 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž:β„•βŸΆβ„•0 β†’ dom β„Ž = β„•)
2321, 22sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) β†’ dom β„Ž = β„•)
2418, 23sseqtrid 4030 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) β†’ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† β„•)
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† β„•)
2625sselda 3978 . . . . . . . . . 10 ((β„Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2726ralrimiva 3141 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„•)
2827biantrurd 532 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
2917biantrurd 532 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ ((βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))))
3016simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ ((β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
3130simpld 494 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)
3231biantrud 531 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)) ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)))
3328, 29, 323bitrd 305 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)))
34 dfss3 3966 . . . . . . . . . 10 ((β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ 𝐽)
35 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑛 β†’ (2 βˆ₯ 𝑧 ↔ 2 βˆ₯ 𝑛))
3635notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑛 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
37 eulerpart.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
3836, 37elrab2 3683 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ 𝐽 ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
3938ralbii 3088 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)(𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
40 r19.26 3106 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)(𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
4134, 39, 403bitri 297 . . . . . . . . 9 ((β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
4241anbi2i 622 . . . . . . . 8 ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ↔ (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
4342anbi1i 623 . . . . . . 7 (((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin) ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
4433, 43bitr4di 289 . . . . . 6 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)))
459sseq1d 4009 . . . . . . . 8 (𝑓 = β„Ž β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
46 eulerpart.t . . . . . . . 8 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
4745, 46elrab2 3683 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ 𝑇 ↔ (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
48 vex 3473 . . . . . . . 8 β„Ž ∈ V
49 eulerpart.r . . . . . . . 8 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
5048, 10, 49elab2 3669 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ 𝑅 ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)
5147, 50anbi12i 626 . . . . . 6 ((β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅) ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
5244, 51bitr4di 289 . . . . 5 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅)))
5352pm5.32i 574 . . . 4 ((β„Ž ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (β„Ž ∈ 𝑃 ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅)))
54 ancom 460 . . . 4 ((β„Ž ∈ 𝑃 ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅)) ↔ ((β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃))
557, 53, 543bitri 297 . . 3 (β„Ž ∈ 𝑂 ↔ ((β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃))
562, 3, 553bitr4ri 304 . 2 (β„Ž ∈ 𝑂 ↔ β„Ž ∈ ((𝑇 ∩ 𝑅) ∩ 𝑃))
5756eqriv 2724 1 𝑂 = ((𝑇 ∩ 𝑅) ∩ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704  βˆ€wral 3056  {crab 3427   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598   class class class wbr 5142  {copab 5204   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416   supp csupp 8159   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955  1c1 11131   Β· cmul 11135   ≀ cle 11271  β„•cn 12234  2c2 12289  β„•0cn0 12494  β†‘cexp 14050  Ξ£csu 15656   βˆ₯ cdvds 16222  bitscbits 16385  πŸ­cind 33565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-seq 13991  df-sum 15657
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator