Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemr 33361
Description: Lemma for eulerpart 33369. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemr 𝑂 = ((𝑇 ∩ 𝑅) ∩ 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝑛,𝑧   𝑓,𝐽,𝑛   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)
Proof of Theorem eulerpartlemr
Dummy variable β„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3963 . . . 4 (β„Ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅))
21anbi1i 624 . . 3 ((β„Ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃) ↔ ((β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃))
3 elin 3963 . . 3 (β„Ž ∈ ((𝑇 ∩ 𝑅) ∩ 𝑃) ↔ (β„Ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃))
4 eulerpart.p . . . . 5 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
5 eulerpart.o . . . . 5 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
6 eulerpart.d . . . . 5 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
74, 5, 6eulerpartlemo 33352 . . . 4 (β„Ž ∈ 𝑂 ↔ (β„Ž ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
8 cnveq 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = β„Ž β†’ ◑𝑓 = β—‘β„Ž)
98imaeq1d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = β„Ž β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (β—‘β„Ž β€œ β„•))
109eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = β„Ž β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
11 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = β„Ž β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (β„Žβ€˜π‘˜))
1211oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = β„Ž β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
1312sumeq2sdv 15646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = β„Ž β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
1413eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = β„Ž β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
1510, 14anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = β„Ž β†’ (((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)))
1615, 4elrab2 3685 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž ∈ 𝑃 ↔ (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ ((β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)))
1716simplbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•))
18 cnvimass 6077 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† dom β„Ž
19 nn0ex 12474 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„•0 ∈ V
20 nnex 12214 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„• ∈ V
2119, 20elmap 8861 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ β„Ž:β„•βŸΆβ„•0)
22 fdm 6723 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž:β„•βŸΆβ„•0 β†’ dom β„Ž = β„•)
2321, 22sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) β†’ dom β„Ž = β„•)
2418, 23sseqtrid 4033 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) β†’ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† β„•)
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† β„•)
2625sselda 3981 . . . . . . . . . 10 ((β„Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2726ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„•)
2827biantrurd 533 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
2917biantrurd 533 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ ((βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))))
3016simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ ((β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((β„Žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
3130simpld 495 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)
3231biantrud 532 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)) ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)))
3328, 29, 323bitrd 304 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)))
34 dfss3 3969 . . . . . . . . . 10 ((β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ 𝐽)
35 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑛 β†’ (2 βˆ₯ 𝑧 ↔ 2 βˆ₯ 𝑛))
3635notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑛 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
37 eulerpart.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
3836, 37elrab2 3685 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ 𝐽 ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
3938ralbii 3093 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)(𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
40 r19.26 3111 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)(𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
4134, 39, 403bitri 296 . . . . . . . . 9 ((β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
4241anbi2i 623 . . . . . . . 8 ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ↔ (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
4342anbi1i 624 . . . . . . 7 (((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin) ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
4433, 43bitr4di 288 . . . . . 6 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)))
459sseq1d 4012 . . . . . . . 8 (𝑓 = β„Ž β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
46 eulerpart.t . . . . . . . 8 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
4745, 46elrab2 3685 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ 𝑇 ↔ (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
48 vex 3478 . . . . . . . 8 β„Ž ∈ V
49 eulerpart.r . . . . . . . 8 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
5048, 10, 49elab2 3671 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ 𝑅 ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin)
5147, 50anbi12i 627 . . . . . 6 ((β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅) ↔ ((β„Ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ∧ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
5244, 51bitr4di 288 . . . . 5 (β„Ž ∈ 𝑃 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅)))
5352pm5.32i 575 . . . 4 ((β„Ž ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘β„Ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (β„Ž ∈ 𝑃 ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅)))
54 ancom 461 . . . 4 ((β„Ž ∈ 𝑃 ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅)) ↔ ((β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃))
557, 53, 543bitri 296 . . 3 (β„Ž ∈ 𝑂 ↔ ((β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑅) ∧ β„Ž ∈ 𝑃))
562, 3, 553bitr4ri 303 . 2 (β„Ž ∈ 𝑂 ↔ β„Ž ∈ ((𝑇 ∩ 𝑅) ∩ 𝑃))
5756eqriv 2729 1 𝑂 = ((𝑇 ∩ 𝑅) ∩ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  {crab 3432   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147  {copab 5209   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   supp csupp 8142   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  1c1 11107   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β†‘cexp 14023  Ξ£csu 15628   βˆ₯ cdvds 16193  bitscbits 16356  πŸ­cind 32996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-sum 15629
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator