HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddsubval 28804
Description: Value of vector addition in terms of vector subtraction. (Contributed by NM, 10-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvaddsubval ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 (-1 · 𝐵)))

Proof of Theorem hvaddsubval
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11745 . . . 4 -1 ∈ ℂ
2 hvmulcl 28784 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
31, 2mpan 688 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
4 hvsubval 28787 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · (-1 · 𝐵))))
53, 4sylan2 594 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · (-1 · 𝐵))))
6 hvm1neg 28803 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (-1 · 𝐵)) = (--1 · 𝐵))
71, 6mpan 688 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℋ → (-1 · (-1 · 𝐵)) = (--1 · 𝐵))
8 negneg1e1 11749 . . . . . . 7 --1 = 1
98oveq1i 7160 . . . . . 6 (--1 · 𝐵) = (1 · 𝐵)
107, 9syl6eq 2872 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (-1 · (-1 · 𝐵)) = (1 · 𝐵))
11 ax-hvmulid 28777 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
1210, 11eqtrd 2856 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (-1 · (-1 · 𝐵)) = 𝐵)
1312adantl 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · (-1 · 𝐵)) = 𝐵)
1413oveq2d 7166 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + (-1 · (-1 · 𝐵))) = (𝐴 + 𝐵))
155, 14eqtr2d 2857 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 (-1 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  (class class class)co 7150  cc 10529  1c1 10532  -cneg 10865  chba 28690   + cva 28691   · csm 28692   cmv 28696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-hfvmul 28776  ax-hvmulid 28777  ax-hvmulass 28778
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866  df-neg 10867  df-hvsub 28742
This theorem is referenced by:  hvaddeq0  28840  shsel3  29086
  Copyright terms: Public domain W3C validator