Theorem hvaddsubval 31129

Description: Value of vector addition in terms of vector subtraction. (Contributed by NM, 10-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddsubval	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem hvaddsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12142	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		hvmulcl 31109	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan 696	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4		hvsubval 31112	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))))
5	3, 4	sylan2 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))))
6		hvm1neg 31128	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (--1 ·ℎ 𝐵))
7	1, 6	mpan 696	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (--1 ·ℎ 𝐵))
8		negneg1e1 12146	. . . . . . 7 ⊢ --1 = 1
9	8	oveq1i 7373	. . . . . 6 ⊢ (--1 ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵)
10	7, 9	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (1 ·ℎ 𝐵))
11		ax-hvmulid 31102	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
12	10, 11	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
13	12	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
14	13	oveq2d 7379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ 𝐵))
15	5, 14	eqtr2d 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  1c1 11037  -cneg 11376   ℋchba 31015   +_ℎ cva 31016   ·_ℎ csm 31017   −_ℎ cmv 31021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-hfvmul 31101  ax-hvmulid 31102  ax-hvmulass 31103

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377  df-neg 11378  df-hvsub 31067

This theorem is referenced by:  hvaddeq0  31165  shsel3  31411