Theorem hvaddsubval 31119

Description: Value of vector addition in terms of vector subtraction. (Contributed by NM, 10-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddsubval	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem hvaddsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12135	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		hvmulcl 31099	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4		hvsubval 31102	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))))
5	3, 4	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))))
6		hvm1neg 31118	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (--1 ·ℎ 𝐵))
7	1, 6	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (--1 ·ℎ 𝐵))
8		negneg1e1 12139	. . . . . . 7 ⊢ --1 = 1
9	8	oveq1i 7370	. . . . . 6 ⊢ (--1 ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵)
10	7, 9	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (1 ·ℎ 𝐵))
11		ax-hvmulid 31092	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
12	10, 11	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
14	13	oveq2d 7376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ 𝐵))
15	5, 14	eqtr2d 2773	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  1c1 11030  -cneg 11369   ℋchba 31005   +_ℎ cva 31006   ·_ℎ csm 31007   −_ℎ cmv 31011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-hfvmul 31091  ax-hvmulid 31092  ax-hvmulass 31093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371  df-hvsub 31057

This theorem is referenced by:  hvaddeq0  31155  shsel3  31401