Theorem hvaddsubval 29395

Description: Value of vector addition in terms of vector subtraction. (Contributed by NM, 10-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddsubval	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem hvaddsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12087	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		hvmulcl 29375	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4		hvsubval 29378	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))))
5	3, 4	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))))
6		hvm1neg 29394	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (--1 ·ℎ 𝐵))
7	1, 6	mpan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (--1 ·ℎ 𝐵))
8		negneg1e1 12091	. . . . . . 7 ⊢ --1 = 1
9	8	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ (--1 ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵)
10	7, 9	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (1 ·ℎ 𝐵))
11		ax-hvmulid 29368	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
12	10, 11	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
13	12	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵)
14	13	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ 𝐵))
15	5, 14	eqtr2d 2779	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872  -cneg 11206   ℋchba 29281   +_ℎ cva 29282   ·_ℎ csm 29283   −_ℎ cmv 29287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208  df-hvsub 29333

This theorem is referenced by:  hvaddeq0  29431  shsel3  29677