Theorem int-mul12d 40529

Description: Second MultiplicationOne generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-mul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
int-mul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-mul12d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem int-mul12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-mul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10663	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	mulid2d 10653	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4		int-mul12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
5	3, 4	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  1c1 10532   · cmul 10536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-mulcl 10593  ax-mulcom 10595  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-1rid 10601  ax-cnre 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-iota 6308  df-fv 6357  df-ov 7153

This theorem is referenced by: (None)