Theorem int-mul12d 44215

Description: Second MultiplicationOne generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-mul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
int-mul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-mul12d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem int-mul12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-mul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11137	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	mullidd 11127	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4		int-mul12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
5	3, 4	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  1c1 11004   · cmul 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-mulcl 11065  ax-mulcom 11067  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-1rid 11073  ax-cnre 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349

This theorem is referenced by: (None)