Theorem int-mul12d 44172

Description: Second MultiplicationOne generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-mul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
int-mul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-mul12d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem int-mul12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-mul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11202	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	mullidd 11192	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4		int-mul12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
5	3, 4	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   · cmul 11073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-mulcl 11130  ax-mulcom 11132  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-1rid 11138  ax-cnre 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390

This theorem is referenced by: (None)