Theorem int-mul12d 41794

Description: Second MultiplicationOne generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-mul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
int-mul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-mul12d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem int-mul12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-mul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11003	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	mulid2d 10993	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4		int-mul12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
5	3, 4	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   · cmul 10876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-mulcl 10933  ax-mulcom 10935  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-1rid 10941  ax-cnre 10944

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-iota 6391  df-fv 6441  df-ov 7278

This theorem is referenced by: (None)