Theorem int-mul11d 44299

Description: First MultiplicationOne generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-mul11d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
int-mul11d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-mul11d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐵)

Proof of Theorem int-mul11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-mul11d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11147	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	mulridd 11136	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
4		int-mul11d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
5	3, 4	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  1c1 11014   · cmul 11018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-mulcl 11075  ax-mulcom 11077  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-1rid 11083  ax-cnre 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-iota 6442  df-fv 6494  df-ov 7355

This theorem is referenced by: (None)