Theorem int-mul11d 43751

Description: First MultiplicationOne generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-mul11d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
int-mul11d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-mul11d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐵)

Proof of Theorem int-mul11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-mul11d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11274	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	mulridd 11263	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
4		int-mul11d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
5	3, 4	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7419  ℝcr 11139  1c1 11141   · cmul 11145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-mulcl 11202  ax-mulcom 11204  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-1rid 11210  ax-cnre 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6501  df-fv 6557  df-ov 7422

This theorem is referenced by: (None)