Theorem int-mul11d 44888

Description: First MultiplicationOne generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-mul11d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
int-mul11d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-mul11d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐵)

Proof of Theorem int-mul11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-mul11d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11238	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	mulridd 11227	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
4		int-mul11d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
5	3, 4	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  1c1 11102   · cmul 11106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-mulcl 11163  ax-mulcom 11165  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-1rid 11171  ax-cnre 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7415

This theorem is referenced by: (None)