Theorem int-mul11d 44140

Description: First MultiplicationOne generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-mul11d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
int-mul11d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-mul11d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐵)

Proof of Theorem int-mul11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-mul11d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11272	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	mulridd 11261	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
4		int-mul11d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
5	3, 4	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7414  ℝcr 11137  1c1 11139   · cmul 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2706  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-mulcl 11200  ax-mulcom 11202  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-1rid 11208  ax-cnre 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-rex 3060  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3936  df-un 3938  df-ss 3950  df-nul 4316  df-if 4508  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-br 5126  df-iota 6495  df-fv 6550  df-ov 7417

This theorem is referenced by: (None)