Theorem int-mul11d 44949

Description: First MultiplicationOne generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-mul11d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
int-mul11d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-mul11d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐵)

Proof of Theorem int-mul11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-mul11d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11255	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	mulridd 11244	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
4		int-mul11d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
5	3, 4	eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  1c1 11119   · cmul 11123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-mulcl 11180  ax-mulcom 11182  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-1rid 11188  ax-cnre 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-iota 6499  df-fv 6551  df-ov 7426

This theorem is used by: (None)