Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmltpclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmltpclem1 23652
 Description: Lemma for pmltpc 23654. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pmltpclem1.1 (𝜑𝐴𝑆)
pmltpclem1.2 (𝜑𝐵𝑆)
pmltpclem1.3 (𝜑𝐶𝑆)
pmltpclem1.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
pmltpclem1.5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
pmltpclem1.6 (𝜑 → (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐶))))
Assertion
Ref Expression
pmltpclem1 (𝜑 → ∃𝑎𝑆𝑏𝑆𝑐𝑆 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐴   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑐   𝐹,𝑎,𝑏,𝑐   𝑆,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem pmltpclem1
StepHypRef Expression
1 pmltpclem1.1 . 2 (𝜑𝐴𝑆)
2 pmltpclem1.2 . 2 (𝜑𝐵𝑆)
3 pmltpclem1.3 . 2 (𝜑𝐶𝑆)
4 pmltpclem1.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
5 pmltpclem1.5 . 2 (𝜑𝐵 < 𝐶)
6 pmltpclem1.6 . 2 (𝜑 → (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐶))))
7 breq1 4889 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 < 𝑏𝐴 < 𝑏))
8 fveq2 6446 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐴))
98breq1d 4896 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝑏)))
109anbi1d 623 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ↔ ((𝐹𝐴) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏))))
118breq2d 4898 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝑏) < (𝐹𝐴)))
1211anbi1d 623 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐))))
1310, 12orbi12d 905 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐))) ↔ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
147, 133anbi13d 1511 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))) ↔ (𝐴 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐))))))
15 breq2 4890 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 < 𝑏𝐴 < 𝐵))
16 breq1 4889 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 < 𝑐𝐵 < 𝑐))
17 fveq2 6446 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐵))
1817breq2d 4898 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝐴) < (𝐹𝑏) ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐵)))
1917breq2d 4898 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝑐) < (𝐹𝑏) ↔ (𝐹𝑐) < (𝐹𝐵)))
2018, 19anbi12d 624 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐹𝐴) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ↔ ((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝐵))))
2117breq1d 4896 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝑏) < (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐴)))
2217breq1d 4896 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝐵) < (𝐹𝑐)))
2321, 22anbi12d 624 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐹𝑏) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝑐))))
2420, 23orbi12d 905 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((((𝐹𝐴) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐))) ↔ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝑐)))))
2515, 16, 243anbi123d 1509 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝑐))))))
26 breq2 4890 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → (𝐵 < 𝑐𝐵 < 𝐶))
27 fveq2 6446 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐶))
2827breq1d 4896 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝐹𝑐) < (𝐹𝐵) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)))
2928anbi2d 622 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝐵)) ↔ ((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵))))
3027breq2d 4898 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝐹𝐵) < (𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐶)))
3130anbi2d 622 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐶))))
3229, 31orbi12d 905 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → ((((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝑐))) ↔ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐶)))))
3326, 323anbi23d 1512 . . 3 (𝑐 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝑐)))) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶 ∧ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐶))))))
3414, 25, 33rspc3ev 3527 . 2 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶 ∧ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐶))))) → ∃𝑎𝑆𝑏𝑆𝑐𝑆 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 34syl33anc 1453 1 (𝜑 → ∃𝑎𝑆𝑏𝑆𝑐𝑆 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3090   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135   < clt 10411 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-iota 6099  df-fv 6143 This theorem is referenced by:  pmltpclem2  23653
 Copyright terms: Public domain W3C validator