MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmltpclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmltpclem2 24059
Description: Lemma for pmltpc 24060. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pmltpc.1 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
pmltpc.2 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
pmltpc.3 (𝜑𝑈𝐴)
pmltpc.4 (𝜑𝑉𝐴)
pmltpc.5 (𝜑𝑊𝐴)
pmltpc.6 (𝜑𝑋𝐴)
pmltpc.7 (𝜑𝑈𝑉)
pmltpc.8 (𝜑𝑊𝑋)
pmltpc.9 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑉))
pmltpc.10 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑊))
Assertion
Ref Expression
pmltpclem2 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐴   𝐹,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑏,𝑐   𝑈,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏,𝑐)   𝑉(𝑎)   𝑋(𝑎)

Proof of Theorem pmltpclem2
StepHypRef Expression
1 pmltpc.5 . . . . 5 (𝜑𝑊𝐴)
21ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑊𝐴)
3 pmltpc.3 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐴)
43ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑈𝐴)
5 pmltpc.4 . . . . 5 (𝜑𝑉𝐴)
65ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑉𝐴)
7 simpr 488 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑊 < 𝑈)
8 pmltpc.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
9 reex 10626 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
109, 9elpm2 8434 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
118, 10sylib 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
1211simprd 499 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
13 pmltpc.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
1413, 3sseldd 3954 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ dom 𝐹)
1512, 14sseldd 3954 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
1613, 5sseldd 3954 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ dom 𝐹)
1712, 16sseldd 3954 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
18 pmltpc.7 . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
1911simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
2019, 16ffvelrnd 6843 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑉) ∈ ℝ)
21 pmltpc.9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑉))
2219, 14ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
2320, 22ltnled 10785 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑉) < (𝐹𝑈) ↔ ¬ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑉)))
2421, 23mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
2520, 24gtned 10773 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑉))
26 fveq2 6661 . . . . . . . . 9 (𝑉 = 𝑈 → (𝐹𝑉) = (𝐹𝑈))
2726eqcomd 2830 . . . . . . . 8 (𝑉 = 𝑈 → (𝐹𝑈) = (𝐹𝑉))
2827necon3i 3046 . . . . . . 7 ((𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑉) → 𝑉𝑈)
2925, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑉𝑈)
3015, 17, 18, 29leneltd 10792 . . . . 5 (𝜑𝑈 < 𝑉)
3130ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑈 < 𝑉)
32 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈))
3324ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
3432, 33jca 515 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈)))
3534orcd 870 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → (((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈)) ∨ ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑊) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑉))))
362, 4, 6, 7, 31, 35pmltpclem1 24058 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
373ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈𝐴)
381ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊𝐴)
39 pmltpc.6 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐴)
4039ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑋𝐴)
4115ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈 ∈ ℝ)
4213, 1sseldd 3954 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝐹)
4312, 42sseldd 3954 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
4443ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊 ∈ ℝ)
45 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈𝑊)
4619, 42ffvelrnd 6843 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑊) ∈ ℝ)
4746ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑊) ∈ ℝ)
48 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈))
4947, 48gtned 10773 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑊))
50 fveq2 6661 . . . . . . . 8 (𝑊 = 𝑈 → (𝐹𝑊) = (𝐹𝑈))
5150eqcomd 2830 . . . . . . 7 (𝑊 = 𝑈 → (𝐹𝑈) = (𝐹𝑊))
5251necon3i 3046 . . . . . 6 ((𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑊) → 𝑊𝑈)
5349, 52syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊𝑈)
5441, 44, 45, 53leneltd 10792 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈 < 𝑊)
5513, 39sseldd 3954 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ dom 𝐹)
5612, 55sseldd 3954 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
57 pmltpc.8 . . . . . 6 (𝜑𝑊𝑋)
58 pmltpc.10 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑊))
5919, 55ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
6046, 59ltnled 10785 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑋) ↔ ¬ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑊)))
6158, 60mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
6246, 61gtned 10773 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑊))
63 fveq2 6661 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝑊 → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑊))
6463necon3i 3046 . . . . . . 7 ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑊) → 𝑋𝑊)
6562, 64syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑊)
6643, 56, 57, 65leneltd 10792 . . . . 5 (𝜑𝑊 < 𝑋)
6766ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊 < 𝑋)
6861ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
6948, 68jca 515 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋)))
7069olcd 871 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (((𝐹𝑈) < (𝐹𝑊) ∧ (𝐹𝑋) < (𝐹𝑊)) ∨ ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))))
7137, 38, 40, 54, 67, 70pmltpclem1 24058 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
7243adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) → 𝑊 ∈ ℝ)
7315adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) → 𝑈 ∈ ℝ)
7436, 71, 72, 73ltlecasei 10746 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
753ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑈𝐴)
765ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑉𝐴)
7739ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑋𝐴)
7830ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑈 < 𝑉)
79 simpr 488 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑉 < 𝑋)
8024ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
8120adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑉) ∈ ℝ)
8222adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
8359adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
8424adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
8546adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑊) ∈ ℝ)
86 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊))
8761adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
8882, 85, 83, 86, 87lelttrd 10796 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑋))
8981, 82, 83, 84, 88lttrd 10799 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))
9089adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))
9180, 90jca 515 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → ((𝐹𝑉) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋)))
9291olcd 871 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → (((𝐹𝑈) < (𝐹𝑉) ∧ (𝐹𝑋) < (𝐹𝑉)) ∨ ((𝐹𝑉) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))))
9375, 76, 77, 78, 79, 92pmltpclem1 24058 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
941ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊𝐴)
9539ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝐴)
965ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉𝐴)
9766ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 < 𝑋)
9856ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ ℝ)
9917ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ ℝ)
100 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
10120ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑉) ∈ ℝ)
10289adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))
103101, 102gtned 10773 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑉))
104 fveq2 6661 . . . . . . . 8 (𝑉 = 𝑋 → (𝐹𝑉) = (𝐹𝑋))
105104eqcomd 2830 . . . . . . 7 (𝑉 = 𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑉))
106105necon3i 3046 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑉) → 𝑉𝑋)
107103, 106syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉𝑋)
10898, 99, 100, 107leneltd 10792 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 < 𝑉)
10961ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
110109, 102jca 515 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋)))
111110orcd 870 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (((𝐹𝑊) < (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋)) ∨ ((𝐹𝑋) < (𝐹𝑊) ∧ (𝐹𝑋) < (𝐹𝑉))))
11294, 95, 96, 97, 108, 111pmltpclem1 24058 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
11317adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → 𝑉 ∈ ℝ)
11456adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → 𝑋 ∈ ℝ)
11593, 112, 113, 114ltlecasei 10746 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
11674, 115, 46, 22ltlecasei 10746 1 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134  wss 3919   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  pm cpm 8403  cr 10534   < clt 10673  cle 10674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8285  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679
This theorem is referenced by:  pmltpc  24060
  Copyright terms: Public domain W3C validator