MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmltpclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmltpclem2 25498
Description: Lemma for pmltpc 25499. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pmltpc.1 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
pmltpc.2 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
pmltpc.3 (𝜑𝑈𝐴)
pmltpc.4 (𝜑𝑉𝐴)
pmltpc.5 (𝜑𝑊𝐴)
pmltpc.6 (𝜑𝑋𝐴)
pmltpc.7 (𝜑𝑈𝑉)
pmltpc.8 (𝜑𝑊𝑋)
pmltpc.9 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑉))
pmltpc.10 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑊))
Assertion
Ref Expression
pmltpclem2 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐴   𝐹,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑏,𝑐   𝑈,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏,𝑐)   𝑉(𝑎)   𝑋(𝑎)

Proof of Theorem pmltpclem2
StepHypRef Expression
1 pmltpc.5 . . . . 5 (𝜑𝑊𝐴)
21ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑊𝐴)
3 pmltpc.3 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐴)
43ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑈𝐴)
5 pmltpc.4 . . . . 5 (𝜑𝑉𝐴)
65ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑉𝐴)
7 simpr 484 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑊 < 𝑈)
8 pmltpc.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
9 reex 11244 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
109, 9elpm2 8913 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
118, 10sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
1211simprd 495 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
13 pmltpc.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
1413, 3sseldd 3996 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ dom 𝐹)
1512, 14sseldd 3996 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
1613, 5sseldd 3996 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ dom 𝐹)
1712, 16sseldd 3996 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
18 pmltpc.7 . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
1911simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
2019, 16ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑉) ∈ ℝ)
21 pmltpc.9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑉))
2219, 14ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
2320, 22ltnled 11406 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑉) < (𝐹𝑈) ↔ ¬ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑉)))
2421, 23mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
2520, 24gtned 11394 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑉))
26 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑉 = 𝑈 → (𝐹𝑉) = (𝐹𝑈))
2726eqcomd 2741 . . . . . . . 8 (𝑉 = 𝑈 → (𝐹𝑈) = (𝐹𝑉))
2827necon3i 2971 . . . . . . 7 ((𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑉) → 𝑉𝑈)
2925, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑉𝑈)
3015, 17, 18, 29leneltd 11413 . . . . 5 (𝜑𝑈 < 𝑉)
3130ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑈 < 𝑉)
32 simplr 769 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈))
3324ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
3432, 33jca 511 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈)))
3534orcd 873 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → (((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈)) ∨ ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑊) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑉))))
362, 4, 6, 7, 31, 35pmltpclem1 25497 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
373ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈𝐴)
381ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊𝐴)
39 pmltpc.6 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐴)
4039ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑋𝐴)
4115ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈 ∈ ℝ)
4213, 1sseldd 3996 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝐹)
4312, 42sseldd 3996 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
4443ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊 ∈ ℝ)
45 simpr 484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈𝑊)
4619, 42ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑊) ∈ ℝ)
4746ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑊) ∈ ℝ)
48 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈))
4947, 48gtned 11394 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑊))
50 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑊 = 𝑈 → (𝐹𝑊) = (𝐹𝑈))
5150eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝑊 = 𝑈 → (𝐹𝑈) = (𝐹𝑊))
5251necon3i 2971 . . . . . 6 ((𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑊) → 𝑊𝑈)
5349, 52syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊𝑈)
5441, 44, 45, 53leneltd 11413 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈 < 𝑊)
5513, 39sseldd 3996 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ dom 𝐹)
5612, 55sseldd 3996 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
57 pmltpc.8 . . . . . 6 (𝜑𝑊𝑋)
58 pmltpc.10 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑊))
5919, 55ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
6046, 59ltnled 11406 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑋) ↔ ¬ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑊)))
6158, 60mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
6246, 61gtned 11394 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑊))
63 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝑊 → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑊))
6463necon3i 2971 . . . . . . 7 ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑊) → 𝑋𝑊)
6562, 64syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑊)
6643, 56, 57, 65leneltd 11413 . . . . 5 (𝜑𝑊 < 𝑋)
6766ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊 < 𝑋)
6861ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
6948, 68jca 511 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋)))
7069olcd 874 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (((𝐹𝑈) < (𝐹𝑊) ∧ (𝐹𝑋) < (𝐹𝑊)) ∨ ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))))
7137, 38, 40, 54, 67, 70pmltpclem1 25497 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
7243adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) → 𝑊 ∈ ℝ)
7315adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) → 𝑈 ∈ ℝ)
7436, 71, 72, 73ltlecasei 11367 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
753ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑈𝐴)
765ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑉𝐴)
7739ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑋𝐴)
7830ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑈 < 𝑉)
79 simpr 484 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑉 < 𝑋)
8024ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
8120adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑉) ∈ ℝ)
8222adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
8359adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
8424adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
8546adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑊) ∈ ℝ)
86 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊))
8761adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
8882, 85, 83, 86, 87lelttrd 11417 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑋))
8981, 82, 83, 84, 88lttrd 11420 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))
9089adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))
9180, 90jca 511 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → ((𝐹𝑉) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋)))
9291olcd 874 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → (((𝐹𝑈) < (𝐹𝑉) ∧ (𝐹𝑋) < (𝐹𝑉)) ∨ ((𝐹𝑉) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))))
9375, 76, 77, 78, 79, 92pmltpclem1 25497 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
941ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊𝐴)
9539ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝐴)
965ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉𝐴)
9766ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 < 𝑋)
9856ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ ℝ)
9917ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ ℝ)
100 simpr 484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
10120ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑉) ∈ ℝ)
10289adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))
103101, 102gtned 11394 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑉))
104 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑉 = 𝑋 → (𝐹𝑉) = (𝐹𝑋))
105104eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝑉 = 𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑉))
106105necon3i 2971 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑉) → 𝑉𝑋)
107103, 106syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉𝑋)
10898, 99, 100, 107leneltd 11413 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 < 𝑉)
10961ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
110109, 102jca 511 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋)))
111110orcd 873 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (((𝐹𝑊) < (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋)) ∨ ((𝐹𝑋) < (𝐹𝑊) ∧ (𝐹𝑋) < (𝐹𝑉))))
11294, 95, 96, 97, 108, 111pmltpclem1 25497 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
11317adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → 𝑉 ∈ ℝ)
11456adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → 𝑋 ∈ ℝ)
11593, 112, 113, 114ltlecasei 11367 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
11674, 115, 46, 22ltlecasei 11367 1 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  pm cpm 8866  cr 11152   < clt 11293  cle 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299
This theorem is referenced by:  pmltpc  25499
  Copyright terms: Public domain W3C validator