MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmltpclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmltpclem2 24973
Description: Lemma for pmltpc 24974. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pmltpc.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
pmltpc.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† dom 𝐹)
pmltpc.3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
pmltpc.4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
pmltpc.5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
pmltpc.6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
pmltpc.7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝑉)
pmltpc.8 (πœ‘ β†’ π‘Š ≀ 𝑋)
pmltpc.9 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘‰))
pmltpc.10 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Š))
Assertion
Ref Expression
pmltpclem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐 ∧ (((πΉβ€˜π‘Ž) < (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)) ∨ ((πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)))))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝐴   𝐹,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑉,𝑏,𝑐   π‘ˆ,π‘Ž,𝑏,𝑐   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑋,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝑉(π‘Ž)   𝑋(π‘Ž)

Proof of Theorem pmltpclem2
StepHypRef Expression
1 pmltpc.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
21ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘Š < π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
3 pmltpc.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
43ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘Š < π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
5 pmltpc.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
65ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘Š < π‘ˆ) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
7 simpr 485 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘Š < π‘ˆ) β†’ π‘Š < π‘ˆ)
8 pmltpc.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
9 reex 11203 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
109, 9elpm2 8870 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
118, 10sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
1211simprd 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
13 pmltpc.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† dom 𝐹)
1413, 3sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ dom 𝐹)
1512, 14sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
1613, 5sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ dom 𝐹)
1712, 16sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ ℝ)
18 pmltpc.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝑉)
1911simpld 495 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
2019, 16ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‰) ∈ ℝ)
21 pmltpc.9 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘‰))
2219, 14ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) ∈ ℝ)
2320, 22ltnled 11363 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘ˆ) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘‰)))
2421, 23mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘ˆ))
2520, 24gtned 11351 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) β‰  (πΉβ€˜π‘‰))
26 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑉 = π‘ˆ β†’ (πΉβ€˜π‘‰) = (πΉβ€˜π‘ˆ))
2726eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (𝑉 = π‘ˆ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜π‘‰))
2827necon3i 2973 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘ˆ) β‰  (πΉβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 β‰  π‘ˆ)
2925, 28syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 β‰  π‘ˆ)
3015, 17, 18, 29leneltd 11370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < 𝑉)
3130ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘Š < π‘ˆ) β†’ π‘ˆ < 𝑉)
32 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘Š < π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ))
3324ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘Š < π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘ˆ))
3432, 33jca 512 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘Š < π‘ˆ) β†’ ((πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘ˆ)))
3534orcd 871 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘Š < π‘ˆ) β†’ (((πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∨ ((πΉβ€˜π‘ˆ) < (πΉβ€˜π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) < (πΉβ€˜π‘‰))))
362, 4, 6, 7, 31, 35pmltpclem1 24972 . . 3 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘Š < π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐 ∧ (((πΉβ€˜π‘Ž) < (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)) ∨ ((πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)))))
373ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
381ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
39 pmltpc.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
4039ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
4115ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
4213, 1sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ dom 𝐹)
4312, 42sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
4443ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
45 simpr 485 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
4619, 42ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Š) ∈ ℝ)
4746ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) ∈ ℝ)
48 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ))
4947, 48gtned 11351 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) β‰  (πΉβ€˜π‘Š))
50 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘Š = π‘ˆ β†’ (πΉβ€˜π‘Š) = (πΉβ€˜π‘ˆ))
5150eqcomd 2738 . . . . . . 7 (π‘Š = π‘ˆ β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) = (πΉβ€˜π‘Š))
5251necon3i 2973 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘ˆ) β‰  (πΉβ€˜π‘Š) β†’ π‘Š β‰  π‘ˆ)
5349, 52syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ π‘Š β‰  π‘ˆ)
5441, 44, 45, 53leneltd 11370 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ π‘ˆ < π‘Š)
5513, 39sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
5612, 55sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
57 pmltpc.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ≀ 𝑋)
58 pmltpc.10 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Š))
5919, 55ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
6046, 59ltnled 11363 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘‹) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)))
6158, 60mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘‹))
6246, 61gtned 11351 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  (πΉβ€˜π‘Š))
63 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑋 = π‘Š β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Š))
6463necon3i 2973 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘‹) β‰  (πΉβ€˜π‘Š) β†’ 𝑋 β‰  π‘Š)
6562, 64syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Š)
6643, 56, 57, 65leneltd 11370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š < 𝑋)
6766ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ π‘Š < 𝑋)
6861ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘‹))
6948, 68jca 512 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ ((πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘‹)))
7069olcd 872 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ (((πΉβ€˜π‘ˆ) < (πΉβ€˜π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) < (πΉβ€˜π‘Š)) ∨ ((πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘‹))))
7137, 38, 40, 54, 67, 70pmltpclem1 24972 . . 3 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐 ∧ (((πΉβ€˜π‘Ž) < (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)) ∨ ((πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)))))
7243adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
7315adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
7436, 71, 72, 73ltlecasei 11324 . 2 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐 ∧ (((πΉβ€˜π‘Ž) < (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)) ∨ ((πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)))))
753ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 < 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
765ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 < 𝑋) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
7739ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 < 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
7830ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 < 𝑋) β†’ π‘ˆ < 𝑉)
79 simpr 485 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 < 𝑋) β†’ 𝑉 < 𝑋)
8024ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 < 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘ˆ))
8120adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) ∈ ℝ)
8222adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) ∈ ℝ)
8359adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
8424adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘ˆ))
8546adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) ∈ ℝ)
86 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š))
8761adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘‹))
8882, 85, 83, 86, 87lelttrd 11374 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ˆ) < (πΉβ€˜π‘‹))
8981, 82, 83, 84, 88lttrd 11377 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘‹))
9089adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 < 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘‹))
9180, 90jca 512 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 < 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘‹)))
9291olcd 872 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 < 𝑋) β†’ (((πΉβ€˜π‘ˆ) < (πΉβ€˜π‘‰) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) < (πΉβ€˜π‘‰)) ∨ ((πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘‹))))
9375, 76, 77, 78, 79, 92pmltpclem1 24972 . . 3 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 < 𝑋) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐 ∧ (((πΉβ€˜π‘Ž) < (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)) ∨ ((πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)))))
941ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
9539ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
965ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
9766ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ π‘Š < 𝑋)
9856ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
9917ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ 𝑉 ∈ ℝ)
100 simpr 485 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ 𝑋 ≀ 𝑉)
10120ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) ∈ ℝ)
10289adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘‹))
103101, 102gtned 11351 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  (πΉβ€˜π‘‰))
104 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑉 = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘‰) = (πΉβ€˜π‘‹))
105104eqcomd 2738 . . . . . . 7 (𝑉 = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‰))
106105necon3i 2973 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘‹) β‰  (πΉβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 β‰  𝑋)
107103, 106syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ 𝑉 β‰  𝑋)
10898, 99, 100, 107leneltd 11370 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ 𝑋 < 𝑉)
10961ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘‹))
110109, 102jca 512 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘‹)))
111110orcd 871 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ (((πΉβ€˜π‘Š) < (πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘‰) < (πΉβ€˜π‘‹)) ∨ ((πΉβ€˜π‘‹) < (πΉβ€˜π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) < (πΉβ€˜π‘‰))))
11294, 95, 96, 97, 108, 111pmltpclem1 24972 . . 3 (((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐 ∧ (((πΉβ€˜π‘Ž) < (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)) ∨ ((πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)))))
11317adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ ℝ)
11456adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
11593, 112, 113, 114ltlecasei 11324 . 2 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘ˆ) ≀ (πΉβ€˜π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐 ∧ (((πΉβ€˜π‘Ž) < (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)) ∨ ((πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)))))
11674, 115, 46, 22ltlecasei 11324 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐 ∧ (((πΉβ€˜π‘Ž) < (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)) ∨ ((πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘) < (πΉβ€˜π‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑pm cpm 8823  β„cr 11111   < clt 11250   ≀ cle 11251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256
This theorem is referenced by:  pmltpc  24974
  Copyright terms: Public domain W3C validator