Theorem divcncf 25439

Description: The quotient of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcncf.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
divcncf.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})))

Assertion

Ref	Expression
divcncf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem divcncf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcncf.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
2		cncff 24885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
4	3	fvmptelcdm 7061	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		divcncf.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})))
6		cncff 24885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
8	7	fvmptelcdm 7061	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
9	8	eldifad 3902	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
10		eldifsni 4730	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝐵 ≠ 0)
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ≠ 0)
12	4, 9, 11	divrecd 11932	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
13	12	mpteq2dva 5172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐵))))
14	8	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
15		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
16		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)))
17	14, 15, 16	fmptcos 7080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝐵 / 𝑦⦌(1 / 𝑦)))
18		csbov2g 7411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝐵 / 𝑦⦌(1 / 𝑦) = (1 / ⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑦))
19	9, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑦⦌(1 / 𝑦) = (1 / ⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑦))
20		csbvarg 4369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑦 = 𝐵)
21	9, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑦 = 𝐵)
22	21	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 / ⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑦) = (1 / 𝐵))
23	19, 22	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑦⦌(1 / 𝑦) = (1 / 𝐵))
24	23	mpteq2dva 5172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝐵 / 𝑦⦌(1 / 𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)))
25	17, 24	eqtr2d 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)) = ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)))
26		ax-1cn 11094	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))
28	27	cdivcncf 24913	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
29	26, 28	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
30	5, 29	cncfco 24899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
31	25, 30	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
32	1, 31	mulcncf 25438	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐵))) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
33	13, 32	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ⦋csb 3838   ∖ cdif 3887  {csn 4562   ↦ cmpt 5160   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6488  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041   / cdiv 11805  –cn→ccncf 24868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870

This theorem is referenced by:  logdivsqrle  34841  divcncff  46341  itgcoscmulx  46419  itgsincmulx  46424  dirkeritg  46552  dirkercncflem2  46554  fourierdlem39  46596  fourierdlem58  46614  fourierdlem62  46618  fourierdlem68  46624  fourierdlem76  46632