MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcncf 23428
Description: The quotient of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
divcncf.1 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
divcncf.2 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→(ℂ ∖ {0})))
Assertion
Ref Expression
divcncf (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem divcncf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divcncf.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2 cncff 22909 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
43mptex2 6524 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 divcncf.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→(ℂ ∖ {0})))
6 cncff 22909 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→(ℂ ∖ {0})) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
87mptex2 6524 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
98eldifad 3735 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
10 eldifsni 4457 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝐵 ≠ 0)
118, 10syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ≠ 0)
124, 9, 11divrecd 11004 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
1312mpteq2dva 4878 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐵))))
148ralrimiva 3115 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
15 eqidd 2772 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵))
16 eqidd 2772 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)))
1714, 15, 16fmptcos 6539 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥𝑋𝐵)) = (𝑥𝑋𝐵 / 𝑦(1 / 𝑦)))
18 csbov2g 6834 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 / 𝑦(1 / 𝑦) = (1 / 𝐵 / 𝑦𝑦))
199, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 / 𝑦(1 / 𝑦) = (1 / 𝐵 / 𝑦𝑦))
20 csbvarg 4147 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 / 𝑦𝑦 = 𝐵)
219, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 / 𝑦𝑦 = 𝐵)
2221oveq2d 6807 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 / 𝐵 / 𝑦𝑦) = (1 / 𝐵))
2319, 22eqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 / 𝑦(1 / 𝑦) = (1 / 𝐵))
2423mpteq2dva 4878 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵 / 𝑦(1 / 𝑦)) = (𝑥𝑋 ↦ (1 / 𝐵)))
2517, 24eqtr2d 2806 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (1 / 𝐵)) = ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥𝑋𝐵)))
26 ax-1cn 10194 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
27 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))
2827cdivcncf 22933 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
2926, 28mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
305, 29cncfco 22923 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥𝑋𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
3125, 30eqeltrd 2850 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
321, 31mulcncf 23427 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐵))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
3313, 32eqeltrd 2850 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  csb 3682  cdif 3720  {csn 4316  cmpt 4863  ccom 5253  wf 6025  (class class class)co 6791  cc 10134  0cc0 10136  1c1 10137   · cmul 10141   / cdiv 10884  cnccncf 22892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894
This theorem is referenced by:  logdivsqrle  31061  divcncff  40615  itgcoscmulx  40695  itgsincmulx  40700  dirkeritg  40829  dirkercncflem2  40831  fourierdlem39  40873  fourierdlem58  40891  fourierdlem62  40895  fourierdlem68  40901  fourierdlem76  40909
  Copyright terms: Public domain W3C validator