Theorem uni1exg 4292

Description: The unit union operator preserves sethood. (Contributed by SF, 13-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uni1exg	⊢ (A ∈ V → ⋃1A ∈ V)

Proof of Theorem uni1exg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfuni12 4291	. 2 ⊢ ⋃1A = P6 (V ×k A)
2		vvex 4109	. . . 4 ⊢ V ∈ V
3		xpkexg 4288	. . . 4 ⊢ ((V ∈ V ∧ A ∈ V) → (V ×k A) ∈ V)
4	2, 3	mpan 651	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (V ×k A) ∈ V)
5		p6exg 4290	. . 3 ⊢ ((V ×k A) ∈ V → P6 (V ×k A) ∈ V)
6	4, 5	syl 15	. 2 ⊢ (A ∈ V → P6 (V ×k A) ∈ V)
7	1, 6	syl5eqel 2437	1 ⊢ (A ∈ V → ⋃1A ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859  ⋃₁cuni1 4133   ×_k cxpk 4174   P6 cp6 4178

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-ss 3259  df-nul 3551  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-opk 4058  df-1c 4136  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-p6 4191

This theorem is referenced by:  uni1ex  4293  uniexg  4316  intexg  4319  coexg  4749  siexg  4752