Theorem uni1exg 4293

Description: The unit union operator preserves sethood. (Contributed by SF, 13-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uni1exg	⊢ (A ∈ V → ⋃1A ∈ V)

Proof of Theorem uni1exg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfuni12 4292	. 2 ⊢ ⋃1A = P6 (V ×k A)
2		vvex 4110	. . . 4 ⊢ V ∈ V
3		xpkexg 4289	. . . 4 ⊢ ((V ∈ V ∧ A ∈ V) → (V ×k A) ∈ V)
4	2, 3	mpan 651	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (V ×k A) ∈ V)
5		p6exg 4291	. . 3 ⊢ ((V ×k A) ∈ V → P6 (V ×k A) ∈ V)
6	4, 5	syl 15	. 2 ⊢ (A ∈ V → P6 (V ×k A) ∈ V)
7	1, 6	syl5eqel 2437	1 ⊢ (A ∈ V → ⋃1A ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860  ⋃₁cuni1 4134   ×_k cxpk 4175   P6 cp6 4179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-opk 4059  df-1c 4137  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-p6 4192

This theorem is referenced by:  uni1ex  4294  uniexg  4317  intexg  4320  coexg  4750  siexg  4753