NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  siexg GIF version

Theorem siexg 4752
Description: The singleton image of a set is a set. (Contributed by SF, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
siexg (A V SI A V)

Proof of Theorem siexg
StepHypRef Expression
1 dfsi2 4751 . 2 SI A = ⋃11((((V ×k V) ×k V) ∩ k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k SIk (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A))
2 pw1exg 4302 . . . . 5 (A V1A V)
3 pw1exg 4302 . . . . 5 (1A V → 11A V)
4 vvex 4109 . . . . . . . 8 V V
54, 4xpkex 4289 . . . . . . . 8 (V ×k V) V
64, 5xpkex 4289 . . . . . . 7 (V ×k (V ×k V)) V
7 setconslem5 4735 . . . . . . 7 ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c) V
86, 7inex 4105 . . . . . 6 ((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) V
9 imakexg 4299 . . . . . 6 ((((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) V 11A V) → (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A) V)
108, 9mpan 651 . . . . 5 (11A V → (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A) V)
112, 3, 103syl 18 . . . 4 (A V → (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A) V)
12 sikexg 4296 . . . 4 ((((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A) V → SIk (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A) V)
135, 4xpkex 4289 . . . . . 6 ((V ×k V) ×k V) V
147cnvkex 4287 . . . . . 6 k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c) V
1513, 14inex 4105 . . . . 5 (((V ×k V) ×k V) ∩ k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) V
16 imakexg 4299 . . . . 5 (((((V ×k V) ×k V) ∩ k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) V SIk (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A) V) → ((((V ×k V) ×k V) ∩ k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k SIk (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A)) V)
1715, 16mpan 651 . . . 4 ( SIk (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A) V → ((((V ×k V) ×k V) ∩ k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k SIk (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A)) V)
1811, 12, 173syl 18 . . 3 (A V → ((((V ×k V) ×k V) ∩ k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k SIk (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A)) V)
19 uni1exg 4292 . . 3 (((((V ×k V) ×k V) ∩ k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k SIk (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A)) V → ⋃1((((V ×k V) ×k V) ∩ k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k SIk (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A)) V)
20 uni1exg 4292 . . 3 (⋃1((((V ×k V) ×k V) ∩ k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k SIk (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A)) V → ⋃11((((V ×k V) ×k V) ∩ k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k SIk (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A)) V)
2118, 19, 203syl 18 . 2 (A V → ⋃11((((V ×k V) ×k V) ∩ k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k SIk (((V ×k (V ×k V)) ∩ ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k 11A)) V)
221, 21syl5eqel 2437 1 (A V SI A V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   wcel 1710  Vcvv 2859  ccompl 3205   cdif 3206  cun 3207  cin 3208  csymdif 3209  {csn 3737  1cuni1 4133  1cc1c 4134  1cpw1 4135   ×k cxpk 4174  kccnvk 4175   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177  k cimak 4179   k ccomk 4180   SIk csik 4181  Imagekcimagek 4182   Sk cssetk 4183   Ik cidk 4184   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   SI csi 4720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-phi 4565  df-op 4566  df-opab 4623  df-br 4640  df-si 4728
This theorem is referenced by:  siex  4753  imageexg  5800  qsexg  5982
  Copyright terms: Public domain W3C validator