Theorem 420lcm8e840 39149

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11903	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 11697	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12105	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12109	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 11719	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 11707	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 11907	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12105	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12109	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 39144	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2821	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 39133	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 11792	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7152	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2847	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 39132	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2844	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 11892	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 11892	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 11899	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 11709	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 11699	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 10636	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7152	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 11721	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addid1i 10813	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 11788	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12107	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2847	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12151	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addid1i 10813	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12145	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 11793	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12107	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2830	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2847	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12151	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7153	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2844	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 39145	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7142  0cc0 10523   + caddc 10526   · cmul 10528  2c2 11679  4c4 11681  8c8 11685  ;cdc 12085   lcm clcm 15915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-rp 12377  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-dvds 15593  df-gcd 15827  df-lcm 15917

This theorem is referenced by:  lcm8un  39167