Theorem 4nn 11225

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 11119	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 11224	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 11070	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2726	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2030  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977  ℕcn 11058  3c3 11109  4c4 11110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-1cn 10032

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119

This theorem is referenced by:  5nn  11226  4nn0  11349  4z  11449  fldiv4p1lem1div2  12676  fldiv4lem1div2  12678  iexpcyc  13009  fsumcube  14835  ef01bndlem  14958  flodddiv4  15184  6lcm4e12  15376  2expltfac  15846  8nprm  15865  37prm  15875  43prm  15876  83prm  15877  139prm  15878  631prm  15881  prmo4  15882  1259prm  15890  2503lem2  15892  starvndx  16051  starvid  16052  ressstarv  16054  srngfn  16055  homndx  16121  homid  16122  resshom  16125  prdsvalstr  16160  oppchomfval  16421  oppcbas  16425  rescco  16539  catstr  16664  lt6abl  18342  pcoass  22870  minveclem3  23246  iblitg  23580  dveflem  23787  tan4thpi  24311  atan1  24700  log2tlbnd  24717  log2ub  24721  bclbnd  25050  bpos1  25053  bposlem6  25059  bposlem7  25060  bposlem8  25061  bposlem9  25062  gausslemma2dlem4  25139  m1lgs  25158  2lgslem1a  25161  2lgslem3a  25166  2lgslem3b  25167  2lgslem3c  25168  2lgslem3d  25169  chebbnd1lem1  25203  chebbnd1lem2  25204  chebbnd1lem3  25205  pntibndlem1  25323  pntibndlem2  25325  pntibndlem3  25326  pntlema  25330  pntlemb  25331  pntlemg  25332  pntlemf  25339  upgr4cycl4dv4e  27163  fib5  30595  hgt750lem2  30858  hgt750leme  30864  rmydioph  37898  rmxdioph  37900  expdiophlem2  37906  inductionexd  38770  amgm4d  38820  257prm  41798  fmtno4sqrt  41808  fmtno4prmfac  41809  fmtno4prmfac193  41810  fmtno5nprm  41820  139prmALT  41836  mod42tp1mod8  41844  wtgoldbnnsum4prm  42015  bgoldbachlt  42026  tgblthelfgott  42028  bgoldbachltOLD  42032  tgblthelfgottOLD  42034