Theorem 4nn 11721

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 11703	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 11717	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 11650	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2909	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  1c1 10538   + caddc 10540  ℕcn 11638  3c3 11694  4c4 11695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-1cn 10595

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703

This theorem is referenced by:  5nn  11724  4nn0  11917  4z  12017  fldiv4p1lem1div2  13206  fldiv4lem1div2  13208  iexpcyc  13570  fsumcube  15414  ef01bndlem  15537  flodddiv4  15764  6lcm4e12  15960  2expltfac  16426  8nprm  16445  37prm  16454  43prm  16455  83prm  16456  139prm  16457  631prm  16460  prmo4  16461  1259prm  16469  2503lem2  16471  starvndx  16623  starvid  16624  ressstarv  16626  srngstr  16627  homndx  16687  homid  16688  resshom  16691  prdsvalstr  16726  oppchomfval  16984  oppcbas  16988  rescco  17102  catstr  17227  lt6abl  19015  pcoass  23628  minveclem3  24032  iblitg  24369  dveflem  24576  tan4thpi  25100  atan1  25506  log2tlbnd  25523  log2ub  25527  bclbnd  25856  bpos1  25859  bposlem6  25865  bposlem7  25866  bposlem8  25867  bposlem9  25868  gausslemma2dlem4  25945  m1lgs  25964  2lgslem1a  25967  2lgslem3a  25972  2lgslem3b  25973  2lgslem3c  25974  2lgslem3d  25975  2sqreultlem  26023  2sqreunnltlem  26026  chebbnd1lem1  26045  chebbnd1lem2  26046  chebbnd1lem3  26047  pntibndlem1  26165  pntibndlem2  26167  pntibndlem3  26168  pntlema  26172  pntlemb  26173  pntlemg  26174  pntlemf  26181  upgr4cycl4dv4e  27964  fib5  31663  hgt750lem2  31923  hgt750leme  31929  420gcd8e4  39127  420lcm8e840  39132  lcm4un  39137  rmydioph  39660  rmxdioph  39662  expdiophlem2  39668  inductionexd  40554  amgm4d  40602  257prm  43772  fmtno4sqrt  43782  fmtno4prmfac  43783  fmtno4prmfac193  43784  fmtno5nprm  43794  139prmALT  43808  mod42tp1mod8  43816  2exp340mod341  43947  341fppr2  43948  wtgoldbnnsum4prm  44016  bgoldbachlt  44027  tgblthelfgott  44029