Theorem 60lcm7e420 39148

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 11713	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12109	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 11716	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 11635	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 11903	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 11697	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12105	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12109	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 39143	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 11901	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12100	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 11899	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12100	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 11896	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mulid2i 10632	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 11906	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 11905	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2821	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 11718	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 11715	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12198	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 10636	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 11699	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addid1i 10813	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12145	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 10619	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 10816	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12107	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2830	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2847	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 10636	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12150	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 39145	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7142  0cc0 10523  1c1 10524   · cmul 10528  2c2 11679  4c4 11681  6c6 11683  7c7 11684  ;cdc 12085   lcm clcm 15915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-rp 12377  df-fz 12883  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-dvds 15593  df-gcd 15827  df-lcm 15917  df-prm 15999

This theorem is referenced by:  lcm7un  39166