HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atoml2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atoml2i 28432
Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition P8(ii) of [BeltramettiCassinelli1] p. 400. (Contributed by NM, 12-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atoml2i ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)

Proof of Theorem atoml2i
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . . . . . 8 𝐴C
2 atelch 28393 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
3 pjoml5 27662 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝐴 𝐵))
41, 2, 3sylancr 693 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝐴 𝐵))
5 incom 3766 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 𝐵))
65eqeq1i 2614 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0 ↔ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 𝐵)) = 0)
76biimpi 204 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0 → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 𝐵)) = 0)
87oveq2d 6543 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0 → (𝐴 ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝐴 0))
91chj0i 27504 . . . . . . . 8 (𝐴 0) = 𝐴
108, 9syl6eq 2659 . . . . . . 7 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0 → (𝐴 ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 𝐵))) = 𝐴)
114, 10sylan9req 2664 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) → (𝐴 𝐵) = 𝐴)
1211ex 448 . . . . 5 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0 → (𝐴 𝐵) = 𝐴))
13 chlejb2 27562 . . . . . 6 ((𝐵C𝐴C ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 𝐵) = 𝐴))
142, 1, 13sylancl 692 . . . . 5 (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 𝐵) = 𝐴))
1512, 14sylibrd 247 . . . 4 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0𝐵𝐴))
1615con3d 146 . . 3 (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
171atomli 28431 . . . . 5 (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}))
18 elun 3714 . . . . . 6 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0}))
19 h0elch 27302 . . . . . . . . 9 0C
2019elexi 3185 . . . . . . . 8 0 ∈ V
2120elsn2 4157 . . . . . . 7 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0} ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
2221orbi2i 539 . . . . . 6 ((((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
23 orcom 400 . . . . . 6 ((((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0 ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
2418, 22, 233bitri 284 . . . . 5 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0 ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
2517, 24sylib 206 . . . 4 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0 ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
2625ord 390 . . 3 (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0 → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
2716, 26syld 45 . 2 (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ 𝐵𝐴 → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
2827imp 443 1 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cun 3537  cin 3538  wss 3539  {csn 4124  cfv 5790  (class class class)co 6527   C cch 26976  cort 26977   chj 26980  0c0h 26982  HAtomscat 27012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872  ax-hilex 27046  ax-hfvadd 27047  ax-hvcom 27048  ax-hvass 27049  ax-hv0cl 27050  ax-hvaddid 27051  ax-hfvmul 27052  ax-hvmulid 27053  ax-hvmulass 27054  ax-hvdistr1 27055  ax-hvdistr2 27056  ax-hvmul0 27057  ax-hfi 27126  ax-his1 27129  ax-his2 27130  ax-his3 27131  ax-his4 27132  ax-hcompl 27249
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-lm 20785  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cfil 22779  df-cau 22780  df-cmet 22781  df-grpo 26497  df-gid 26498  df-ginv 26499  df-gdiv 26500  df-ablo 26552  df-vc 26567  df-nv 26615  df-va 26618  df-ba 26619  df-sm 26620  df-0v 26621  df-vs 26622  df-nmcv 26623  df-ims 26624  df-dip 26741  df-ssp 26765  df-ph 26858  df-cbn 26909  df-hnorm 27015  df-hba 27016  df-hvsub 27018  df-hlim 27019  df-hcau 27020  df-sh 27254  df-ch 27268  df-oc 27299  df-ch0 27300  df-shs 27357  df-span 27358  df-chj 27359  df-chsup 27360  df-pjh 27444  df-cv 28328  df-at 28387
This theorem is referenced by:  atordi  28433
  Copyright terms: Public domain W3C validator