Theorem borelmbl 41356

Description: All Borel subsets of the n-dimensional Real numbers are Lebesgue measurable. This is Proposition 115G (b) of [Fremlin1] p. 32. See also Definition 111G (d) of [Fremlin1] p. 13. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
borelmbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
borelmbl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
borelmbl.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘(TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
borelmbl	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem borelmbl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6364	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ V)
2		borelmbl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘(TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
3		borelmbl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
4		borelmbl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
5	3, 4	dmovnsal 41332	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6	3	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))) → 𝑋 ∈ Fin)
7		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
8	6, 4, 7	opnvonmbl 41354	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
9	8	ssd 39751	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ⊆ 𝑆)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
11	3, 10	unidmvon 41337	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ dom (voln‘𝑋) = (ℝ ↑𝑚 𝑋))
12	4	unieqi 4597	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ dom (voln‘𝑋)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ dom (voln‘𝑋))
14		rrxunitopnfi 41015	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑𝑚 𝑋))
15	3, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑𝑚 𝑋))
16	11, 13, 15	3eqtr4d 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
17	1, 2, 5, 9, 16	salgenss 41057	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∪ cuni 4588  dom cdm 5266  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↑_𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  ℝcr 10127  TopOpenctopn 16284  ℝ^crrx 23371  SalGencsalgen 41035  volncvoln 41258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-ac2 9477  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-ac 9129  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-prod 14835  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-rnghom 18917  df-drng 18951  df-field 18952  df-subrg 18980  df-abv 19019  df-staf 19047  df-srng 19048  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lmhm 19224  df-lvec 19305  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-refld 20153  df-phl 20173  df-dsmm 20278  df-frlm 20293  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cmp 21392  df-xms 22326  df-ms 22327  df-nm 22588  df-ngp 22589  df-tng 22590  df-nrg 22591  df-nlm 22592  df-clm 23063  df-cph 23168  df-tch 23169  df-rrx 23373  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-salg 41032  df-salgen 41036  df-sumge0 41083  df-mea 41170  df-ome 41210  df-caragen 41212  df-ovoln 41257  df-voln 41259

This theorem is referenced by:  bormflebmf  41468