MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfpmmulfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chfacfpmmulfsupp 20890
Description: A mapping of values of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix is finitely supported. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayhamlem1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cayhamlem1.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cayhamlem1.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cayhamlem1.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cayhamlem1.r × = (.r𝑌)
cayhamlem1.s = (-g𝑌)
cayhamlem1.0 0 = (0g𝑌)
cayhamlem1.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cayhamlem1.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
cayhamlem1.e = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
chfacfpmmulfsupp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠   0 ,𝑛   𝐵,𝑖   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑇,𝑖   × ,𝑖   ,𝑖   𝑖,𝑠   𝑖,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑛,𝑠,𝑏)   (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑌(𝑖,𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfpmmulfsupp
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cayhamlem1.0 . . . 4 0 = (0g𝑌)
2 fvex 6363 . . . 4 (0g𝑌) ∈ V
31, 2eqeltri 2835 . . 3 0 ∈ V
43a1i 11 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 0 ∈ V)
5 ovexd 6844 . 2 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) ∈ V)
6 nnnn0 11511 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
76ad2antrl 766 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
8 1nn0 11520 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 1 ∈ ℕ0)
107, 9nn0addcld 11567 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
11 vex 3343 . . . . . . 7 𝑘 ∈ V
12 csbov12g 6853 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = (𝑘 / 𝑖(𝑖 (𝑇𝑀)) × 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖)))
13 nfcvd 2903 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ V → 𝑖(𝑘 (𝑇𝑀)))
14 oveq1 6821 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 (𝑇𝑀)) = (𝑘 (𝑇𝑀)))
1513, 14csbiegf 3698 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖(𝑖 (𝑇𝑀)) = (𝑘 (𝑇𝑀)))
16 csbfv 6395 . . . . . . . . . 10 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖) = (𝐺𝑘)
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖) = (𝐺𝑘))
1815, 17oveq12d 6832 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ V → (𝑘 / 𝑖(𝑖 (𝑇𝑀)) × 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖)) = ((𝑘 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑘)))
1912, 18eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = ((𝑘 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑘)))
2011, 19mp1i 13 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = ((𝑘 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑘)))
21 simplll 815 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵))
22 simpllr 817 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))))
236adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2423ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2524nn0zd 11692 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℤ)
2625adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑠 ∈ ℤ)
27 2z 11621 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 2 ∈ ℤ)
2926, 28zaddcld 11698 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ∈ ℤ)
30 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3130nn0zd 11692 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℤ)
32 peano2nn0 11545 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
336, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
3433ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
3534nn0zd 11692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
36 nn0z 11612 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
37 zltp1le 11639 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
3835, 36, 37syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
3938biimpa 502 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘)
40 nncn 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
41 add1p1 11495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
4342breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
4443bicomd 213 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4544adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4645ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4746adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4839, 47mpbird 247 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ≤ 𝑘)
49 eluz2 11905 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) ↔ ((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
5029, 31, 48, 49syl3anbrc 1429 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)))
51 cayhamlem1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
52 cayhamlem1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
53 cayhamlem1.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
54 cayhamlem1.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
55 cayhamlem1.r . . . . . . . 8 × = (.r𝑌)
56 cayhamlem1.s . . . . . . . 8 = (-g𝑌)
57 cayhamlem1.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
58 cayhamlem1.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
59 cayhamlem1.e . . . . . . . 8 = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
6051, 52, 53, 54, 55, 56, 1, 57, 58, 59chfacfpmmul0 20889 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2))) → ((𝑘 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑘)) = 0 )
6121, 22, 50, 60syl3anc 1477 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑘 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑘)) = 0 )
6220, 61eqtrd 2794 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 )
6362ex 449 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 ))
6463ralrimiva 3104 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 ))
65 breq1 4807 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑠 + 1) → (𝑥 < 𝑘 ↔ (𝑠 + 1) < 𝑘))
6665imbi1d 330 . . . . 5 (𝑥 = (𝑠 + 1) → ((𝑥 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 ) ↔ ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 )))
6766ralbidv 3124 . . . 4 (𝑥 = (𝑠 + 1) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 )))
6867rspcev 3449 . . 3 (((𝑠 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 )) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 ))
6910, 64, 68syl2anc 696 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 ))
704, 5, 69mptnn0fsupp 13011 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖))) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  csb 3674  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑚 cmap 8025  Fincfn 8123   finSupp cfsupp 8442  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478  cn 11232  2c2 11282  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  ...cfz 12539  Basecbs 16079  .rcmulr 16164  0gc0g 16322  -gcsg 17645  .gcmg 17761  mulGrpcmgp 18709  CRingccrg 18768  Poly1cpl1 19769   Mat cmat 20435   matToPolyMat cmat2pmat 20731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-prds 16330  df-pws 16332  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-ascl 19536  df-psr 19578  df-mpl 19580  df-opsr 19582  df-psr1 19772  df-ply1 19774  df-dsmm 20298  df-frlm 20313  df-mamu 20412  df-mat 20436  df-mat2pmat 20734
This theorem is referenced by:  chfacfpmmulgsum  20891
  Copyright terms: Public domain W3C validator