MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dcubic1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dcubic1 24660
Description: Forward direction of dcubic 24661: the claimed formula produces solutions to the cubic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3 (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
dcubic.g (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n (𝜑𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0 (𝜑𝑇 ≠ 0)
dcubic1.x (𝜑𝑋 = (𝑇 − (𝑀 / 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
dcubic1 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

Proof of Theorem dcubic1
StepHypRef Expression
1 dcubic.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
21oveq1d 6748 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = ((𝐺𝑁)↑2))
3 dcubic.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
4 dcubic.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 = (𝑄 / 2))
5 dcubic.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
65halfcld 11358 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 / 2) ∈ ℂ)
74, 6eqeltrd 2771 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8 binom2sub 13064 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑁)↑2) = (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)))
93, 7, 8syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑁)↑2) = (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)))
10 dcubic.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
11 2cnd 11174 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
1211, 3, 7mul12d 10326 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝐺 · 𝑁)) = (𝐺 · (2 · 𝑁)))
134oveq2d 6749 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (2 · (𝑄 / 2)))
14 2ne0 11194 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
165, 11, 15divcan2d 10884 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (𝑄 / 2)) = 𝑄)
1713, 16eqtrd 2726 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) = 𝑄)
1817oveq2d 6749 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 · (2 · 𝑁)) = (𝐺 · 𝑄))
193, 5mulcomd 10142 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 · 𝑄) = (𝑄 · 𝐺))
2012, 18, 193eqtrd 2730 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐺 · 𝑁)) = (𝑄 · 𝐺))
2110, 20oveq12d 6751 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) = (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
2221oveq1d 6748 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
232, 9, 223eqtrd 2730 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
247sqcld 13089 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
25 dcubic.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
26 dcubic.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
27 3cn 11176 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
29 3ne0 11196 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ≠ 0)
3126, 28, 30divcld 10882 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
3225, 31eqeltrd 2771 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
33 3nn0 11391 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
34 expcl 12961 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
3532, 33, 34sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
3624, 35addcld 10140 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
375, 3mulcld 10141 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 · 𝐺) ∈ ℂ)
3836, 24, 37addsubd 10494 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) − (𝑄 · 𝐺)) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
3924, 35, 24add32d 10344 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) = (((𝑁↑2) + (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
40242timesd 11356 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = ((𝑁↑2) + (𝑁↑2)))
4140oveq1d 6748 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) = (((𝑁↑2) + (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
4239, 41eqtr4d 2729 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) = ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
4342oveq1d 6748 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) − (𝑄 · 𝐺)) = (((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
4423, 38, 433eqtr2d 2732 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = (((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
455, 3, 7subdid 10567 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 · (𝐺𝑁)) = ((𝑄 · 𝐺) − (𝑄 · 𝑁)))
461oveq2d 6749 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 · (𝑇↑3)) = (𝑄 · (𝐺𝑁)))
477sqvald 13088 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
4847oveq2d 6749 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = (2 · (𝑁 · 𝑁)))
4911, 7, 7mulassd 10144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · 𝑁) = (2 · (𝑁 · 𝑁)))
5017oveq1d 6748 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · 𝑁) = (𝑄 · 𝑁))
5148, 49, 503eqtr2d 2732 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = (𝑄 · 𝑁))
5251oveq2d 6749 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) = ((𝑄 · 𝐺) − (𝑄 · 𝑁)))
5345, 46, 523eqtr4d 2736 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 · (𝑇↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))))
5453oveq1d 6748 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3)) = (((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) − (𝑀↑3)))
55 2cn 11172 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
56 mulcl 10101 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℂ) → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
5755, 24, 56sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
5837, 57, 35subsub4d 10504 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) − (𝑀↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3))))
5954, 58eqtrd 2726 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3))))
6044, 59oveq12d 6751 . . 3 (𝜑 → (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))))
6157, 35addcld 10140 . . . 4 (𝜑 → ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
62 npncan2 10389 . . . 4 ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ ∧ (𝑄 · 𝐺) ∈ ℂ) → ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))) = 0)
6361, 37, 62syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))) = 0)
6460, 63eqtrd 2726 . 2 (𝜑 → (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = 0)
65 dcubic.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
66 dcubic.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
67 dcubic.0 . . 3 (𝜑𝑇 ≠ 0)
68 dcubic1.x . . 3 (𝜑𝑋 = (𝑇 − (𝑀 / 𝑇)))
6926, 5, 65, 66, 1, 3, 10, 25, 4, 67, 66, 67, 68dcubic1lem 24658 . 2 (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
7064, 69mpbird 247 1 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1564  wcel 2071  wne 2864  (class class class)co 6733  cc 10015  0cc0 10017   + caddc 10020   · cmul 10022  cmin 10347   / cdiv 10765  2c2 11151  3c3 11152  0cn0 11373  cexp 12943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-pre-sup 10095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-sup 8432  df-inf 8433  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-div 10766  df-nn 11102  df-2 11160  df-3 11161  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-rp 11915  df-fz 12409  df-seq 12885  df-exp 12944  df-cj 13927  df-re 13928  df-im 13929  df-sqrt 14063  df-abs 14064  df-dvds 15072
This theorem is referenced by:  dcubic  24661
  Copyright terms: Public domain W3C validator