dcubic2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dcubic2 25424

Description: Reverse direction of dcubic 25426. Given a solution 𝑈 to the "substitution" quadratic equation 𝑋 = 𝑈 − 𝑀 / 𝑈, show that 𝑋 is in the desired form. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dcubic.c	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3	⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
dcubic.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2	⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
dcubic2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
dcubic2.z	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
dcubic2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
dcubic2.x	⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

**Assertion**
Ref	Expression
dcubic2	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))

Distinct variable groups: 𝑀,𝑟 𝑃,𝑟 𝜑,𝑟 𝑄,𝑟 𝑇,𝑟 𝑈,𝑟 𝑋,𝑟 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑟) 𝑁(𝑟)

**Proof of Theorem dcubic2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dcubic2.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
2		dcubic.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
3		dcubic.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
4	1, 2, 3	divcld 11418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ)
5	4	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ)
6		3nn0 11918	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
8	1, 2, 3, 7	expdivd 13527	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)))
9	8	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)))
10		oveq1 7165	. . . . 5 ⊢ ((𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁) → ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)) = ((𝐺 − 𝑁) / (𝑇↑3)))
11		dcubic.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
12	11	oveq1d 7173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3) / (𝑇↑3)) = ((𝐺 − 𝑁) / (𝑇↑3)))
13		expcl 13450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
14	2, 6, 13	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
15		3z 12018	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
17	2, 3, 16	expne0d 13519	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) ≠ 0)
18	14, 17	dividd 11416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3) / (𝑇↑3)) = 1)
19	12, 18	eqtr3d 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝑁) / (𝑇↑3)) = 1)
20	10, 19	sylan9eqr 2880	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)) = 1)
21	9, 20	eqtrd 2858	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1)
22		dcubic2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
23	1, 2, 3	divcan1d 11419	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) = 𝑈)
24	23	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑀 / 𝑈))
25	23, 24	oveq12d 7176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
26	22, 25	eqtr4d 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
27	26	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
28		oveq1 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑟↑3) = ((𝑈 / 𝑇)↑3))
29	28	eqeq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → ((𝑟↑3) = 1 ↔ ((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1))
30		oveq1 7165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑟 · 𝑇) = ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))
31	30	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) = (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
32	30, 31	oveq12d 7176	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
33	32	eqeq2d 2834	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) ↔ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))))
34	29, 33	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))) ↔ (((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))))
35	34	rspcev 3625	. . 3 ⊢ (((𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ ∧ (((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
36	5, 21, 27, 35	syl12anc 834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
37		dcubic.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
38		dcubic.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
39		3cn 11721	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
41		3ne0 11746	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
43	38, 40, 42	divcld 11418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
44	37, 43	eqeltrd 2915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
45		dcubic2.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
46	44, 1, 45	divcld 11418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
47	46	negcld 10986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
48	47, 2, 3	divcld 11418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ)
49	48	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ)
50	47, 2, 3, 7	expdivd 13527	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = ((-(𝑀 / 𝑈)↑3) / (𝑇↑3)))
51	44, 1, 45	divnegd 11431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) = (-𝑀 / 𝑈))
52	51	oveq1d 7173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-𝑀 / 𝑈)↑3))
53	44	negcld 10986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℂ)
54	53, 1, 45, 7	expdivd 13527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
55	11	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺 − 𝑁)))
56		dcubic.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
57		dcubic.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
58		dcubic.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
59	58	halfcld 11885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 2) ∈ ℂ)
60	57, 59	eqeltrd 2915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
61		subsq 13575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺 − 𝑁)))
62	56, 60, 61	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺 − 𝑁)))
63	55, 62	eqtr4d 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)))
64		dcubic.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
65	64	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑁↑2)))
66	60	sqcld 13511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
67		expcl 13450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
68	44, 6, 67	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
69	66, 68	pncan2d 11001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑁↑2)) = (𝑀↑3))
70	63, 65, 69	3eqtrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = (𝑀↑3))
71	70	negeqd 10882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
72	56, 60	addcld 10662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
73	72, 14	mulneg1d 11095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)))
74		3nn 11719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
76		n2dvds3 15723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 3)
78		oexpneg 15696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → (-𝑀↑3) = -(𝑀↑3))
79	44, 75, 77, 78	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-𝑀↑3) = -(𝑀↑3))
80	71, 73, 79	3eqtr4d 2868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = (-𝑀↑3))
81	80	oveq1d 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) / (𝑈↑3)) = ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
82	72	negcld 10986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
83		expcl 13450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
84	1, 6, 83	sylancl 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
85	1, 45, 16	expne0d 13519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑3) ≠ 0)
86	82, 14, 84, 85	div23d 11455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) / (𝑈↑3)) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
87	81, 86	eqtr3d 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
88	52, 54, 87	3eqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
89	88	oveq1d 7173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈)↑3) / (𝑇↑3)) = (((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)) / (𝑇↑3)))
90	82, 84, 85	divcld 11418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
91	90, 14, 17	divcan4d 11424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)) / (𝑇↑3)) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
92	50, 89, 91	3eqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
93	92	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
94		oveq1 7165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁) → ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
95	94	eqcomd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁) → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) = ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)))
96	84, 85	dividd 11416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)) = 1)
97	95, 96	sylan9eqr 2880	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) = 1)
98	93, 97	eqtrd 2858	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1)
99	46, 1	neg2subd 11016	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
100	22, 99	eqtr4d 2861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
101	100	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑋 = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
102	47, 2, 3	divcan1d 11419	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = -(𝑀 / 𝑈))
103	102	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = -(𝑀 / 𝑈))
104	44, 1, 45	divneg2d 11432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) = (𝑀 / -𝑈))
105	102, 104	eqtrd 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = (𝑀 / -𝑈))
106	105	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = (𝑀 / -𝑈))
107	106	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑀 / (𝑀 / -𝑈)))
108	44	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
109	1	negcld 10986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ∈ ℂ)
110	109	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -𝑈 ∈ ℂ)
111	73, 71	eqtrd 2858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
112	111	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
113	82	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
114	14	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
115		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁))
116	85	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑈↑3) ≠ 0)
117	115, 116	eqnetrrd 3086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝐺 + 𝑁) ≠ 0)
118	17	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑇↑3) ≠ 0)
119	113, 114, 117, 118	mulne0d 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) ≠ 0)
120	112, 119	eqnetrrd 3086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝑀↑3) ≠ 0)
121		oveq1 7165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑3) = (0↑3))
122		0exp 13467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
123	74, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑3) = 0
124	121, 123	syl6eq 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑3) = 0)
125	124	negeqd 10882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 0 → -(𝑀↑3) = -0)
126		neg0 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ -0 = 0
127	125, 126	syl6eq 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 0 → -(𝑀↑3) = 0)
128	127	necon3i 3050	. . . . . . . 8 ⊢ (-(𝑀↑3) ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)
129	120, 128	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑀 ≠ 0)
130	1, 45	negne0d 10997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ≠ 0)
131	130	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -𝑈 ≠ 0)
132	108, 110, 129, 131	ddcand 11438	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / (𝑀 / -𝑈)) = -𝑈)
133	107, 132	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)) = -𝑈)
134	103, 133	oveq12d 7176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))) = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
135	101, 134	eqtr4d 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))
136		oveq1 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑟↑3) = ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3))
137	136	eqeq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → ((𝑟↑3) = 1 ↔ ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1))
138		oveq1 7165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑟 · 𝑇) = ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))
139	138	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) = (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)))
140	138, 139	oveq12d 7176	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))
141	140	eqeq2d 2834	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) ↔ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)))))
142	137, 141	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))) ↔ (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))))
143	142	rspcev 3625	. . 3 ⊢ (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ ∧ (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
144	49, 98, 135, 143	syl12anc 834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
145	84	sqcld 13511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) ∈ ℂ)
146	145	mulid2d 10661	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · ((𝑈↑3)↑2)) = ((𝑈↑3)↑2))
147	58, 84	mulcld 10663	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
148	147, 68	negsubd 11005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3)) = ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)))
149	146, 148	oveq12d 7176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))))
150		dcubic2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)
151		dcubic.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
152	38, 58, 151, 2, 11, 56, 64, 37, 57, 3, 1, 45, 22	dcubic1lem 25423	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
153	150, 152	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0)
154	149, 153	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = 0)
155		1cnd 10638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
156		ax-1ne0 10608	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
157	156	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
158	68	negcld 10986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝑀↑3) ∈ ℂ)
159		2cn 11715	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
160		mulcl 10623	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → (2 · 𝐺) ∈ ℂ)
161	159, 56, 160	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐺) ∈ ℂ)
162		sqmul 13488	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐺)↑2) = ((2↑2) · (𝐺↑2)))
163	159, 56, 162	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐺)↑2) = ((2↑2) · (𝐺↑2)))
164	64	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝐺↑2)) = ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))))
165	159	sqcli 13547	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
166		mulcl 10623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℂ) → ((2↑2) · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
167	165, 66, 166	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
168		mulcl 10623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → ((2↑2) · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
169	165, 68, 168	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
170	167, 169	subnegd 11006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2↑2) · (𝑁↑2)) − -((2↑2) · (𝑀↑3))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) + ((2↑2) · (𝑀↑3))))
171	57	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (2 · (𝑄 / 2)))
172	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
173		2ne0 11744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
175	58, 172, 174	divcan2d 11420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 / 2)) = 𝑄)
176	171, 175	eqtrd 2858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = 𝑄)
177	176	oveq1d 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑2) = (𝑄↑2))
178		sqmul 13488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
179	159, 60, 178	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
180	177, 179	eqtr3d 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
181	158	mulid2d 10661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · -(𝑀↑3)) = -(𝑀↑3))
182	181	oveq2d 7174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = (4 · -(𝑀↑3)))
183		4cn 11725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
184		mulneg2 11079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → (4 · -(𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3)))
185	183, 68, 184	sylancr 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (4 · -(𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3)))
186	182, 185	eqtrd 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = -(4 · (𝑀↑3)))
187		sq2 13563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = 4
188	187	oveq1i 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑2) · (𝑀↑3)) = (4 · (𝑀↑3))
189	188	negeqi 10881	. . . . . . . . 9 ⊢ -((2↑2) · (𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3))
190	186, 189	syl6eqr 2876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = -((2↑2) · (𝑀↑3)))
191	180, 190	oveq12d 7176	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) − -((2↑2) · (𝑀↑3))))
192	165	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ∈ ℂ)
193	192, 66, 68	adddid 10667	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) + ((2↑2) · (𝑀↑3))))
194	170, 191, 193	3eqtr4rd 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))) = ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))))
195	163, 164, 194	3eqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐺)↑2) = ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))))
196	155, 157, 58, 158, 84, 161, 195	quad2 25419	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = 0 ↔ ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)))))
197	154, 196	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1))))
198		2t1e2 11803	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
199	198	oveq2i 7169	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2)
200	58	negcld 10986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑄 ∈ ℂ)
201	200, 161, 172, 174	divdird 11456	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2) = ((-𝑄 / 2) + ((2 · 𝐺) / 2)))
202	57	negeqd 10882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑁 = -(𝑄 / 2))
203	58, 172, 174	divnegd 11431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝑄 / 2) = (-𝑄 / 2))
204	202, 203	eqtr2d 2859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-𝑄 / 2) = -𝑁)
205	56, 172, 174	divcan3d 11423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐺) / 2) = 𝐺)
206	204, 205	oveq12d 7176	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 / 2) + ((2 · 𝐺) / 2)) = (-𝑁 + 𝐺))
207	60	negcld 10986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑁 ∈ ℂ)
208	207, 56	addcomd 10844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-𝑁 + 𝐺) = (𝐺 + -𝑁))
209	56, 60	negsubd 11005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + -𝑁) = (𝐺 − 𝑁))
210	208, 209	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-𝑁 + 𝐺) = (𝐺 − 𝑁))
211	201, 206, 210	3eqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2) = (𝐺 − 𝑁))
212	199, 211	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = (𝐺 − 𝑁))
213	212	eqeq2d 2834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ↔ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)))
214	198	oveq2i 7169	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2)
215	204, 205	oveq12d 7176	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 / 2) − ((2 · 𝐺) / 2)) = (-𝑁 − 𝐺))
216	200, 161, 172, 174	divsubdird 11457	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2) = ((-𝑄 / 2) − ((2 · 𝐺) / 2)))
217	56, 60	addcomd 10844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐺))
218	217	negeqd 10882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) = -(𝑁 + 𝐺))
219	60, 56	negdi2d 11013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝑁 + 𝐺) = (-𝑁 − 𝐺))
220	218, 219	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) = (-𝑁 − 𝐺))
221	215, 216, 220	3eqtr4d 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2) = -(𝐺 + 𝑁))
222	214, 221	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = -(𝐺 + 𝑁))
223	222	eqeq2d 2834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ↔ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)))
224	213, 223	orbi12d 915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1))) ↔ ((𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁) ∨ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁))))
225	197, 224	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁) ∨ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)))
226	36, 144, 225	mpjaodan 955	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 398 ∨ wo 843 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ≠ wne 3018 ∃wrex 3141 class class class wbr 5068 (class class class)co 7158 ℂcc 10537 0cc0 10539 1c1 10540 + caddc 10542 · cmul 10544 − cmin 10872 -cneg 10873 / cdiv 11299 ℕcn 11640 2c2 11695 3c3 11696 4c4 11697 ℕ₀cn0 11900 ℤcz 11984 ↑cexp 13432 ∥ cdvds 15609

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2795 ax-sep 5205 ax-nul 5212 ax-pow 5268 ax-pr 5332 ax-un 7463 ax-cnex 10595 ax-resscn 10596 ax-1cn 10597 ax-icn 10598 ax-addcl 10599 ax-addrcl 10600 ax-mulcl 10601 ax-mulrcl 10602 ax-mulcom 10603 ax-addass 10604 ax-mulass 10605 ax-distr 10606 ax-i2m1 10607 ax-1ne0 10608 ax-1rid 10609 ax-rnegex 10610 ax-rrecex 10611 ax-cnre 10612 ax-pre-lttri 10613 ax-pre-lttrn 10614 ax-pre-ltadd 10615 ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2802 df-cleq 2816 df-clel 2895 df-nfc 2965 df-ne 3019 df-nel 3126 df-ral 3145 df-rex 3146 df-reu 3147 df-rmo 3148 df-rab 3149 df-v 3498 df-sbc 3775 df-csb 3886 df-dif 3941 df-un 3943 df-in 3945 df-ss 3954 df-pss 3956 df-nul 4294 df-if 4470 df-pw 4543 df-sn 4570 df-pr 4572 df-tp 4574 df-op 4576 df-uni 4841 df-iun 4923 df-br 5069 df-opab 5131 df-mpt 5149 df-tr 5175 df-id 5462 df-eprel 5467 df-po 5476 df-so 5477 df-fr 5516 df-we 5518 df-xp 5563 df-rel 5564 df-cnv 5565 df-co 5566 df-dm 5567 df-rn 5568 df-res 5569 df-ima 5570 df-pred 6150 df-ord 6196 df-on 6197 df-lim 6198 df-suc 6199 df-iota 6316 df-fun 6359 df-fn 6360 df-f 6361 df-f1 6362 df-fo 6363 df-f1o 6364 df-fv 6365 df-riota 7116 df-ov 7161 df-oprab 7162 df-mpo 7163 df-om 7583 df-2nd 7692 df-wrecs 7949 df-recs 8010 df-rdg 8048 df-er 8291 df-en 8512 df-dom 8513 df-sdom 8514 df-pnf 10679 df-mnf 10680 df-xr 10681 df-ltxr 10682 df-le 10683 df-sub 10874 df-neg 10875 df-div 11300 df-nn 11641 df-2 11703 df-3 11704 df-4 11705 df-n0 11901 df-z 11985 df-uz 12247 df-rp 12393 df-seq 13373 df-exp 13433 df-dvds 15610

This theorem is referenced by: dcubic 25426

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