Theorem sqvald 13508

Description: Value of square. Inference version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqvald	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqval 13482	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535   · cmul 10542  2c2 11693  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8  13605  cjmulval  14504  sqrlem5  14606  sqrlem6  14607  sqrlem7  14608  remsqsqrt  14616  sqrtmsq  14630  absid  14656  absre  14661  absresq  14662  abs1m  14695  abslem2  14699  sqreulem  14719  msqsqrtd  14800  tanval3  15487  sincossq  15529  cos2t  15531  sqrt2irrlem  15601  sqnprm  16046  isprm5  16051  coprimeprodsq  16145  pockthg  16242  4sqlem7  16280  4sqlem10  16283  mul4sqlem  16289  4sqlem12  16292  4sqlem15  16295  4sqlem16  16296  4sqlem17  16297  odadd2  18969  abvneg  19605  zringunit  20635  cphsubrglem  23781  rrxnm  23994  pjthlem1  24040  itgabs  24435  dvrec  24552  dvmptdiv  24571  dveflem  24576  tangtx  25091  tanregt0  25123  tanarg  25202  cxpsqrt  25286  lawcoslem1  25393  chordthmlem4  25413  heron  25416  quad2  25417  dcubic1lem  25421  dcubic1  25423  dcubic  25424  cubic2  25426  binom4  25428  dquartlem1  25429  dquartlem2  25430  dquart  25431  quart1lem  25433  asinsin  25470  cxp2limlem  25553  lgamgulmlem3  25608  wilthlem1  25645  basellem8  25665  chpub  25796  bposlem2  25861  lgssq  25913  lgssq2  25914  lgsquad3  25963  2sqlem3  25996  2sqlem8  26002  2sqmod  26012  chtppilimlem1  26049  rplogsumlem2  26061  dchrisum0lem1a  26062  dchrisum0lem1  26092  dchrisum0lem3  26095  mulog2sumlem1  26110  vmalogdivsum2  26114  logsqvma  26118  logdivbnd  26132  pntpbnd1a  26161  pntlemr  26178  pntlemf  26181  pntlemk  26182  pntlemo  26183  brbtwn2  26691  colinearalglem4  26695  htthlem  28694  pjhthlem1  29168  cnlnadjlem7  29850  branmfn  29882  leopnmid  29915  hgt750lemf  31924  hgt750leme  31929  pdivsq  32981  dvtan  34957  itgabsnc  34976  ftc1anclem3  34984  areacirclem1  34997  3cubeslem1  39301  3cubeslem2  39302  3cubeslem3l  39303  irrapxlem5  39443  pellexlem2  39447  pellexlem6  39451  rmxdbl  39556  jm2.18  39605  jm2.19lem1  39606  jm2.20nn  39614  jm2.25  39616  jm2.27c  39624  jm3.1lem2  39635  int-sqdefd  40554  int-sqgeq0d  40559  sqrlearg  41849  dvdivf  42227  wallispi2lem1  42376  stirlinglem1  42379  stirlinglem3  42381  stirlinglem10  42388  smfmullem1  43086  fmtnorec2lem  43724  fmtnorec3  43730  modexp2m1d  43797  itschlc0yqe  44767  itscnhlc0xyqsol  44772  itschlc0xyqsol1  44773  itschlc0xyqsol  44774  itsclc0xyqsolr  44776