MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrecg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrecg 23927
Description: Derivative of the reciprocal of a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrecg.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvrecg.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvrecg.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
dvrecg.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶𝑉)
dvrecg.db (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐵)) = (𝑥𝑋𝐶))
Assertion
Ref Expression
dvrecg (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem dvrecg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvrecg.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 cnelprrecn 10213 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 dvrecg.b . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
5 dvrecg.c . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶𝑉)
6 dvrecg.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
76adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 eldifi 3867 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
98adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
10 eldifsni 4458 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
1110adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
127, 9, 11divcld 10985 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
139sqcld 13192 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
14 2z 11593 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 2 ∈ ℤ)
169, 11, 15expne0d 13200 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦↑2) ≠ 0)
177, 13, 16divcld 10985 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
1817negcld 10563 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
19 dvrecg.db . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐵)) = (𝑥𝑋𝐶))
20 dvrec 23909 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑦↑2))))
216, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑦↑2))))
22 oveq2 6813 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝐵))
23 oveq1 6812 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦↑2) = (𝐵↑2))
2423oveq2d 6821 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 / (𝑦↑2)) = (𝐴 / (𝐵↑2)))
2524negeqd 10459 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → -(𝐴 / (𝑦↑2)) = -(𝐴 / (𝐵↑2)))
261, 3, 4, 5, 12, 18, 19, 21, 22, 25dvmptco 23926 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ (-(𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶)))
276adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 eldifi 3867 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝐵 ∈ ℂ)
294, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
3029sqcld 13192 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
31 eldifsn 4454 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
324, 31sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3332simprd 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ≠ 0)
3414a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 2 ∈ ℤ)
3529, 33, 34expne0d 13200 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵↑2) ≠ 0)
3627, 30, 35divcld 10985 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 / (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
371, 29, 5, 19dvmptcl 23913 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
3836, 37mulneg1d 10667 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (-(𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶) = -((𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶))
3927, 37, 30, 35div23d 11022 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2)) = ((𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶))
4039eqcomd 2758 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2)))
4140negeqd 10459 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → -((𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶) = -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2)))
4238, 41eqtrd 2786 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (-(𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶) = -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2)))
4342mpteq2dva 4888 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (-(𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶)) = (𝑥𝑋 ↦ -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2))))
4426, 43eqtrd 2786 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  cdif 3704  {csn 4313  {cpr 4315  cmpt 4873  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120   · cmul 10125  -cneg 10451   / cdiv 10868  2c2 11254  cz 11561  cexp 13046   D cdv 23818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-t1 21312  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822
This theorem is referenced by:  dvmptdiv  23928
  Copyright terms: Public domain W3C validator