MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expne0d 12997
Description: Nonnegative integer exponentiation is nonzero if its mantissa is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
expclzd.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
expne0d (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 sqrecd.1 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 expclzd.3 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 expne0i 12875 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
51, 2, 3, 4syl3anc 1324 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988  wne 2791  (class class class)co 6635  cc 9919  0cc0 9921  cz 11362  cexp 12843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-seq 12785  df-exp 12844
This theorem is referenced by:  absexpz  14026  0.999...  14593  0.999...OLD  14594  bitsfzo  15138  bitsmod  15139  bitsinv1lem  15144  bitsuz  15177  pcexp  15545  dvdsprmpweqle  15571  pcaddlem  15573  pcadd  15574  qexpz  15586  dvrecg  23717  dvexp3  23722  plyeq0lem  23947  aareccl  24062  taylthlem2  24109  root1cj  24478  cxpeq  24479  dcubic1lem  24551  dcubic2  24552  cubic2  24556  cubic  24557  lgamgulmlem4  24739  basellem4  24791  basellem8  24795  lgseisenlem1  25081  lgseisenlem2  25082  lgsquadlem1  25086  znsqcld  29486  dya2icoseg  30313  dya2iocucvr  30320  omssubadd  30336  oddpwdc  30390  signsplypnf  30601  signsply0  30602  knoppndvlem7  32484  knoppndvlem17  32494  rmxyneg  37304  radcnvrat  38333  dvdivbd  39901  iblsplit  39945  wallispi2lem1  40051  wallispi2lem2  40052  wallispi2  40053  stirlinglem3  40056  stirlinglem4  40057  stirlinglem7  40060  stirlinglem8  40061  stirlinglem10  40063  stirlinglem13  40066  stirlinglem14  40067  stirlinglem15  40068  fourierdlem56  40142  fourierdlem57  40143  elaa2lem  40213  sge0ad2en  40411  ovnsubaddlem1  40547  fldivexpfllog2  42124  nn0digval  42159  dignnld  42162  dig2nn1st  42164  dig2bits  42173  dignn0flhalflem1  42174  dignn0flhalflem2  42175  dignn0ehalf  42176
  Copyright terms: Public domain W3C validator