MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzofz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzofz 12469
Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzofz (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz
StepHypRef Expression
1 elfzouz 12458 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 elfzouz2 12468 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
3 elfzuzb 12321 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
41, 2, 3sylanbrc 697 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988  cfv 5876  (class class class)co 6635  cuz 11672  ...cfz 12311  ..^cfzo 12449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450
This theorem is referenced by:  fzossfz  12472  elfzom1elp1fzo  12518  uzindi  12764  2swrdeqwrdeq  13435  telfsumo  14515  telfsumo2  14516  fsumparts  14519  prodfn0  14607  hashgcdlem  15474  cshwshashlem2  15784  efgs1b  18130  efgredlem  18141  cpmadugsumlemF  20662  dvfsumle  23765  dvfsumabs  23767  dvntaylp  24106  taylthlem1  24108  taylthlem2  24109  pntpbnd1  25256  pntlemj  25273  pntlemi  25274  pntlemf  25275  upgrewlkle2  26483  wlk1walk  26516  wlkp1lem6  26556  trlreslem  26577  upgrwlkdvdelem  26613  crctcshwlkn0lem4  26686  crctcshwlkn0lem5  26687  crctcshwlkn0lem6  26688  clwwisshclwws  26908  trlsegvdeglem1  27060  poimirlem24  33404  poimirlem25  33405  poimirlem29  33409  poimirlem31  33411  elfzfzo  39301  dvnmptdivc  39916  fourierdlem1  40088  fourierdlem12  40099  fourierdlem14  40101  fourierdlem15  40102  fourierdlem20  40107  fourierdlem25  40112  fourierdlem27  40114  fourierdlem41  40128  fourierdlem46  40132  fourierdlem48  40134  fourierdlem49  40135  fourierdlem50  40136  fourierdlem54  40140  fourierdlem63  40149  fourierdlem64  40150  fourierdlem65  40151  fourierdlem69  40155  fourierdlem70  40156  fourierdlem71  40157  fourierdlem72  40158  fourierdlem73  40159  fourierdlem74  40160  fourierdlem75  40161  fourierdlem76  40162  fourierdlem79  40165  fourierdlem80  40166  fourierdlem81  40167  fourierdlem84  40170  fourierdlem85  40171  fourierdlem88  40174  fourierdlem89  40175  fourierdlem90  40176  fourierdlem91  40177  fourierdlem92  40178  fourierdlem93  40179  fourierdlem94  40180  fourierdlem97  40183  fourierdlem102  40188  fourierdlem103  40189  fourierdlem104  40190  fourierdlem111  40197  fourierdlem113  40199  fourierdlem114  40200  iccpartiltu  41122  iccelpart  41133  iccpartiun  41134  icceuelpartlem  41135  icceuelpart  41136  iccpartdisj  41137  iccpartnel  41138  pfxsuffeqwrdeq  41171
  Copyright terms: Public domain W3C validator