Theorem elfzofz 13056

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13045	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13055	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 12905	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037

This theorem is referenced by:  fzossfz  13059  elfzom1elp1fzo  13107  uzindi  13353  swrdfv0  14013  pfxsuffeqwrdeq  14062  telfsumo  15159  telfsumo2  15160  fsumparts  15163  prodfn0  15252  hashgcdlem  16127  cshwshashlem2  16432  efgs1b  18864  efgredlem  18875  cpmadugsumlemF  21486  dvfsumle  24620  dvfsumabs  24622  dvntaylp  24961  taylthlem1  24963  taylthlem2  24964  pntpbnd1  26164  pntlemj  26181  pntlemi  26182  pntlemf  26183  upgrewlkle2  27390  wlk1walk  27422  wlkp1lem6  27462  trlreslem  27483  upgrwlkdvdelem  27519  crctcshwlkn0lem4  27593  crctcshwlkn0lem5  27594  crctcshwlkn0lem6  27595  clwwisshclwws  27795  trlsegvdeglem1  28001  fzone1  30525  poimirlem24  34918  poimirlem25  34919  poimirlem29  34923  poimirlem31  34925  elfzfzo  41549  dvnmptdivc  42230  fourierdlem1  42400  fourierdlem12  42411  fourierdlem14  42413  fourierdlem15  42414  fourierdlem20  42419  fourierdlem25  42424  fourierdlem27  42426  fourierdlem41  42440  fourierdlem46  42444  fourierdlem48  42446  fourierdlem49  42447  fourierdlem50  42448  fourierdlem54  42452  fourierdlem63  42461  fourierdlem64  42462  fourierdlem65  42463  fourierdlem69  42467  fourierdlem70  42468  fourierdlem71  42469  fourierdlem72  42470  fourierdlem73  42471  fourierdlem74  42472  fourierdlem75  42473  fourierdlem76  42474  fourierdlem79  42477  fourierdlem80  42478  fourierdlem81  42479  fourierdlem84  42482  fourierdlem85  42483  fourierdlem88  42486  fourierdlem89  42487  fourierdlem90  42488  fourierdlem91  42489  fourierdlem92  42490  fourierdlem93  42491  fourierdlem94  42492  fourierdlem97  42495  fourierdlem102  42500  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502  fourierdlem111  42509  fourierdlem113  42511  fourierdlem114  42512  iccpartiltu  43589  iccelpart  43600  iccpartiun  43601  icceuelpartlem  43602  icceuelpart  43603  iccpartdisj  43604  iccpartnel  43605