MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzofz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzofz 12305
Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzofz (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz
StepHypRef Expression
1 elfzouz 12294 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 elfzouz2 12304 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
3 elfzuzb 12158 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
41, 2, 3sylanbrc 694 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  cuz 11515  ...cfz 12148  ..^cfzo 12285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286
This theorem is referenced by:  fzossfz  12308  elfzom1elp1fzo  12353  uzindi  12594  2swrdeqwrdeq  13247  telfsumo  14317  telfsumo2  14318  fsumparts  14321  prodfn0  14407  hashgcdlem  15273  cshwshashlem2  15583  efgs1b  17914  efgredlem  17925  cpmadugsumlemF  20438  dvfsumle  23501  dvfsumabs  23503  dvntaylp  23842  taylthlem1  23844  taylthlem2  23845  pntpbnd1  24988  pntlemj  25005  pntlemi  25006  pntlemf  25007  wlkdvspthlem  25899  clwwisshclww  26097  poimirlem24  32402  poimirlem25  32403  poimirlem29  32407  poimirlem31  32409  elfzfzo  38228  dvnmptdivc  38628  fourierdlem1  38801  fourierdlem12  38812  fourierdlem14  38814  fourierdlem15  38815  fourierdlem20  38820  fourierdlem25  38825  fourierdlem27  38827  fourierdlem41  38841  fourierdlem46  38845  fourierdlem48  38847  fourierdlem49  38848  fourierdlem50  38849  fourierdlem54  38853  fourierdlem63  38862  fourierdlem64  38863  fourierdlem65  38864  fourierdlem69  38868  fourierdlem70  38869  fourierdlem71  38870  fourierdlem72  38871  fourierdlem73  38872  fourierdlem74  38873  fourierdlem75  38874  fourierdlem76  38875  fourierdlem79  38878  fourierdlem80  38879  fourierdlem81  38880  fourierdlem84  38883  fourierdlem85  38884  fourierdlem88  38887  fourierdlem89  38888  fourierdlem90  38889  fourierdlem91  38890  fourierdlem92  38891  fourierdlem93  38892  fourierdlem94  38893  fourierdlem97  38896  fourierdlem102  38901  fourierdlem103  38902  fourierdlem104  38903  fourierdlem111  38910  fourierdlem113  38912  fourierdlem114  38913  iccpartiltu  39761  iccelpart  39772  iccpartiun  39773  icceuelpartlem  39774  icceuelpart  39775  iccpartdisj  39776  iccpartnel  39777  pfxsuffeqwrdeq  40070  upgrewlkle2  40806  1wlk1walk  40841  1wlkp1lem6  40885  trlreslem  40905  upgrwlkdvdelem  40940  crctcsh1wlkn0lem4  41014  crctcsh1wlkn0lem5  41015  crctcsh1wlkn0lem6  41016  clwwisshclwws  41233  trlsegvdeglem1  41386
  Copyright terms: Public domain W3C validator