Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodsubrecnncnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsubrecnncnvlem 39412
Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is subtracted an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsubrecnncnvlem.k 𝑘𝜑
fprodsubrecnncnvlem.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodsubrecnncnvlem.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsubrecnncnvlem.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
fprodsubrecnncnvlem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥))
fprodsubrecnncnvlem.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
fprodsubrecnncnvlem (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodsubrecnncnvlem
StepHypRef Expression
1 nnuz 11667 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11353 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 fprodsubrecnncnvlem.k . . . 4 𝑘𝜑
4 fprodsubrecnncnvlem.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 fprodsubrecnncnvlem.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 fprodsubrecnncnvlem.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥))
73, 4, 5, 6fprodsub2cncf 39410 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8 1rp 11780 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
10 nnrp 11786 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
119, 10rpdivcld 11833 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1211rpcnd 11818 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
1312adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
14 fprodsubrecnncnvlem.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
1513, 14fmptd 6341 . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℂ)
16 1cnd 10001 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17 divcnv 14505 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
1914a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)))
2019breq1d 4628 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0))
2118, 20mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
22 0cnd 9978 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
231, 2, 7, 15, 21, 22climcncf 22606 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹‘0))
24 nfv 1845 . . . . . . . 8 𝑘 𝑥 ∈ ℂ
253, 24nfan 1830 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑥 ∈ ℂ)
264adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
275adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
2927, 28subcld 10337 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑥) ∈ ℂ)
3025, 26, 29fprodclf 14643 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥) ∈ ℂ)
3130, 6fmptd 6341 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
32 fcompt 6355 . . . . 5 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → (𝐹𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
3331, 15, 32syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
34 fprodsubrecnncnvlem.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛))))
36 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
3714fvmpt2 6249 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℂ) → (𝐺𝑛) = (1 / 𝑛))
3836, 12, 37syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = (1 / 𝑛))
3938fveq2d 6154 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐺𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
4039adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
416a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥)))
42 oveq2 6613 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (1 / 𝑛) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (1 / 𝑛)))
4342prodeq2ad 39215 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 / 𝑛) → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥) = ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
4443adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑛)) → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥) = ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
45 prodex 14557 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) ∈ V
4645a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) ∈ V)
4741, 44, 13, 46fvmptd 6246 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(1 / 𝑛)) = ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
4840, 47eqtr2d 2661 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) = (𝐹‘(𝐺𝑛)))
4948mpteq2dva 4709 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
5035, 49eqtrd 2660 . . . 4 (𝜑𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
5133, 50eqtr4d 2663 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺) = 𝑆)
526a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥)))
53 nfv 1845 . . . . . . 7 𝑘 𝑥 = 0
543, 53nfan 1830 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑥 = 0)
55 oveq2 6613 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐵𝑥) = (𝐵 − 0))
5655ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − 0))
575subid1d 10326 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
5857adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
5956, 58eqtrd 2660 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑥) = 𝐵)
6059ex 450 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑘𝐴 → (𝐵𝑥) = 𝐵))
6154, 60ralrimi 2956 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 0) → ∀𝑘𝐴 (𝐵𝑥) = 𝐵)
6261prodeq2d 14572 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 0) → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
63 prodex 14557 . . . . 5 𝑘𝐴 𝐵 ∈ V
6463a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ V)
6552, 62, 22, 64fvmptd 6246 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘0) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
6651, 65breq12d 4631 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ⇝ (𝐹‘0) ↔ 𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵))
6723, 66mpbid 222 1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1992  Vcvv 3191   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ccom 5083  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882  cmin 10211   / cdiv 10629  cn 10965  +crp 11776  cli 14144  cprod 14555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-prod 14556  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584
This theorem is referenced by:  fprodsubrecnncnv  39413
  Copyright terms: Public domain W3C validator