MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzsplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzsplit2 12311
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit2 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 12287 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
21zred 11429 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 eluzel2 11639 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
43adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
54zred 11429 . . . . . 6 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
6 lelttric 10091 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑥𝐾𝐾 < 𝑥))
72, 5, 6syl2anr 495 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥𝐾𝐾 < 𝑥))
8 elfzuz 12283 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
9 elfz5 12279 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ 𝑥𝐾))
108, 4, 9syl2anr 495 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ 𝑥𝐾))
11 simpl 473 . . . . . . . . 9 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
12 eluzelz 11644 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
14 eluz 11648 . . . . . . . 8 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
1513, 1, 14syl2an 494 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
16 elfzuz3 12284 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
1716adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
18 elfzuzb 12281 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑥)))
1918rbaib 946 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑥) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
2017, 19syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
21 zltp1le 11374 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑥 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
224, 1, 21syl2an 494 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 < 𝑥 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
2315, 20, 223bitr4d 300 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝐾 < 𝑥))
2410, 23orbi12d 745 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑥𝐾𝐾 < 𝑥)))
257, 24mpbird 247 . . . 4 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
26 elfzuz 12283 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
2726adantl 482 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
28 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
29 elfzuz3 12284 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑥))
30 uztrn 11651 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
3128, 29, 30syl2an 494 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
32 elfzuzb 12281 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑥)))
3327, 31, 32sylanbrc 697 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
34 elfzuz 12283 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
35 uztrn 11651 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
3634, 11, 35syl2anr 495 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
37 elfzuz3 12284 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
3837adantl 482 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
3936, 38, 32sylanbrc 697 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
4033, 39jaodan 825 . . . 4 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
4125, 40impbida 876 . . 3 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
42 elun 3733 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
4341, 42syl6bbr 278 . 2 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
4443eqrdv 2619 1 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cun 3554   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  cr 9882  1c1 9884   + caddc 9886   < clt 10021  cle 10022  cz 11324  cuz 11634  ...cfz 12271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272
This theorem is referenced by:  fzsplit  12312  fzpred  12334  fz0to4untppr  12386  fallfacval4  14702  fsumharmonic  24645  gausslemma2dlem6  25004  dchrisum0lem1b  25111  dchrisum0lem1  25112  dchrisum0lem3  25115  pntrsumbnd2  25163  pntrlog2bndlem6a  25178  pntlemf  25201  fzspl  29404  poimirlem1  33063  poimirlem2  33064  poimirlem3  33065  poimirlem4  33066  poimirlem6  33068  poimirlem7  33069  poimirlem8  33070  poimirlem12  33074  poimirlem13  33075  poimirlem14  33076  poimirlem16  33078  poimirlem17  33079  poimirlem18  33080  poimirlem19  33081  poimirlem20  33082  poimirlem21  33083  poimirlem22  33084  poimirlem23  33085  poimirlem24  33086  poimirlem25  33087  poimirlem26  33088  poimirlem28  33090  poimirlem29  33091  poimirlem31  33093  poimirlem32  33094
  Copyright terms: Public domain W3C validator