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Theorem pntrsumbnd2 24969
Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd2 𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
Distinct variable groups:   𝑘,𝑎,𝑚,𝑛   𝑘,𝑐,𝑚,𝑛,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrsumbnd2
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntrval.r . . 3 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
21pntrsumbnd 24968 . 2 𝑏 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏
3 2rp 11665 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
4 rpmulcl 11683 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
53, 4mpan 701 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
65adantr 479 . . . 4 ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
7 nnz 11228 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
87adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
9 peano2zm 11249 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
11 simplr 787 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
12 oveq2 6531 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (1...𝑚) = (1...(𝑘 − 1)))
1312sumeq1d 14221 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑘 − 1) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
1413fveq2d 6088 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
1514breq1d 4583 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏))
1615rspcv 3273 . . . . . . 7 ((𝑘 − 1) ∈ ℤ → (∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏))
1710, 11, 16sylc 62 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
185ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
1918rpge0d 11704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑏))
20 sumeq1 14209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
21 sum0 14241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0
2220, 21syl6eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0)
2322abs00bd 13821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = 0)
2423breq1d 4583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘...𝑚) = ∅ → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ 0 ≤ (2 · 𝑏)))
2519, 24syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
2625imp 443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
28 fzn0 12177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘...𝑚) ≠ ∅ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘))
29 fzfid 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...𝑚) ∈ Fin)
30 elfznn 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (1...𝑚) → 𝑛 ∈ ℕ)
31 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
3231nnrpd 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
331pntrf 24965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑅:ℝ+⟶ℝ
3433ffvelrni 6247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
3631peano2nnd 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
3731, 36nnmulcld 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
3835, 37nndivred 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
3930, 38sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4029, 39fsumrecl 14254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4140recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
4241abscld 13965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
43 fzfid 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
44 elfznn 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
4544, 38sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4643, 45fsumrecl 14254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4746recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
4847abscld 13965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
49 simplll 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ+)
5049rpred 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ)
51 le2add 10355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
5242, 48, 50, 50, 51syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
5350recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑏 ∈ ℂ)
54532timesd 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
5554breq2d 4585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
56 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5756nnred 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
5857ltm1d 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
59 fzdisj 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 − 1) < 𝑘 → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
6156nncnd 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
62 ax-1cn 9846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 ∈ ℂ
63 npcan 10137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
6461, 62, 63sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
6564, 56eqeltrd 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ℕ)
66 nnuz 11551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℕ = (ℤ‘1)
6765, 66syl6eleq 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘1))
6856nnzd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
6968, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
70 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7170nncnd 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
7271, 62, 63sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
7372fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1)) = (ℤ𝑘))
7473eleq2d 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)))
7574biimpar 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1)))
76 peano2uzr 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 − 1)))
7769, 75, 76syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 − 1)))
78 fzsplit2 12188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 − 1))) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
7967, 77, 78syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
8064oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚) = (𝑘...𝑚))
8180uneq2d 3724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
8279, 81eqtrd 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
8339recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
8460, 82, 29, 83fsumsplit 14260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) + Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
8584oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) + Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
86 fzfid 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘...𝑚) ∈ Fin)
87 elfzuz 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ (𝑘...𝑚) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑘))
88 eluznn 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
8956, 87, 88syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
9089, 38syldan 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
9186, 90fsumrecl 14254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
9291recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
9347, 92pncan2d 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) + Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
9485, 93eqtrd 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
9594fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
9641, 47abs2dif2d 13987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
9795, 96eqbrtrrd 4597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
9892abscld 13965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
9942, 48readdcld 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
100 2re 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
102101, 50remulcld 9922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
103 letr 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℝ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10498, 99, 102, 103syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10597, 104mpand 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10655, 105sylbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10752, 106syld 45 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
108107ancomsd 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10928, 108sylan2b 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) ≠ ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
11027, 109pm2.61dane 2864 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
111110imp 443 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
112111an4s 864 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
113112expr 640 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
114113ralimdva 2940 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
115114impancom 454 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
116115an32s 841 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
11717, 116mpd 15 . . . . 5 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
118117ralrimiva 2944 . . . 4 ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
119 breq2 4577 . . . . . 6 (𝑐 = (2 · 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
1201192ralbidv 2967 . . . . 5 (𝑐 = (2 · 𝑏) → (∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
121120rspcev 3277 . . . 4 (((2 · 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
1226, 118, 121syl2anc 690 . . 3 ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
123122rexlimiva 3005 . 2 (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
1242, 123ax-mp 5 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  wrex 2892  cun 3533  cin 3534  c0 3869   class class class wbr 4573  cmpt 4633  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791   · cmul 9793   < clt 9926  cle 9927  cmin 10113   / cdiv 10529  cn 10863  2c2 10913  cz 11206  cuz 11515  +crp 11660  ...cfz 12148  abscabs 13764  Σcsu 14206  ψcchp 24532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ioc 12003  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-mod 12482  df-seq 12615  df-exp 12674  df-fac 12874  df-bc 12903  df-hash 12931  df-shft 13597  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-limsup 13992  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-o1 14011  df-lo1 14012  df-sum 14207  df-ef 14579  df-e 14580  df-sin 14581  df-cos 14582  df-pi 14584  df-dvds 14764  df-gcd 14997  df-prm 15166  df-pc 15322  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-mulg 17306  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-fbas 19506  df-fg 19507  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cld 20571  df-ntr 20572  df-cls 20573  df-nei 20650  df-lp 20688  df-perf 20689  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-haus 20867  df-cmp 20938  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-fil 21398  df-fm 21490  df-flim 21491  df-flf 21492  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-cncf 22416  df-limc 23349  df-dv 23350  df-log 24020  df-cxp 24021  df-em 24432  df-cht 24536  df-vma 24537  df-chp 24538  df-ppi 24539
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