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Theorem pntrsumbnd2 25237
 Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd2 𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
Distinct variable groups:   𝑘,𝑎,𝑚,𝑛   𝑘,𝑐,𝑚,𝑛,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrsumbnd2
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntrval.r . . 3 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
21pntrsumbnd 25236 . 2 𝑏 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏
3 2rp 11822 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
4 rpmulcl 11840 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
53, 4mpan 705 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
65adantr 481 . . . 4 ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
7 nnz 11384 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
87adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
9 peano2zm 11405 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
11 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
12 oveq2 6643 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (1...𝑚) = (1...(𝑘 − 1)))
1312sumeq1d 14412 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑘 − 1) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
1413fveq2d 6182 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
1514breq1d 4654 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏))
1615rspcv 3300 . . . . . . 7 ((𝑘 − 1) ∈ ℤ → (∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏))
1710, 11, 16sylc 65 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)
185ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
1918rpge0d 11861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 ≤ (2 · 𝑏))
20 sumeq1 14400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
21 sum0 14433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑛 ∈ ∅ ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0
2220, 21syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘...𝑚) = ∅ → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = 0)
2322abs00bd 14012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = 0)
2423breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘...𝑚) = ∅ → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ 0 ≤ (2 · 𝑏)))
2519, 24syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘...𝑚) = ∅ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
2625imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) = ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
28 fzn0 12340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘...𝑚) ≠ ∅ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘))
29 fzfid 12755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...𝑚) ∈ Fin)
30 elfznn 12355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (1...𝑚) → 𝑛 ∈ ℕ)
31 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
3231nnrpd 11855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
331pntrf 25233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑅:ℝ+⟶ℝ
3433ffvelrni 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
3631peano2nnd 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
3731, 36nnmulcld 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
3835, 37nndivred 11054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
3930, 38sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4029, 39fsumrecl 14446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4140recnd 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
4241abscld 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
43 fzfid 12755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
44 elfznn 12355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
4544, 38sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4643, 45fsumrecl 14446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4746recnd 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
4847abscld 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
49 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ+)
5049rpred 11857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑏 ∈ ℝ)
51 le2add 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
5242, 48, 50, 50, 51syl22anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
5350recnd 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑏 ∈ ℂ)
54532timesd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
5554breq2d 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) ↔ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏)))
56 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5756nnred 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
5857ltm1d 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
59 fzdisj 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 − 1) < 𝑘 → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∩ (𝑘...𝑚)) = ∅)
6156nncnd 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
62 ax-1cn 9979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 ∈ ℂ
63 npcan 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
6461, 62, 63sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
6564, 56eqeltrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ℕ)
66 nnuz 11708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℕ = (ℤ‘1)
6765, 66syl6eleq 2709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘1))
6856nnzd 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
6968, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
70 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7170nncnd 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
7271, 62, 63sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
7372fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1)) = (ℤ𝑘))
7473eleq2d 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)))
7574biimpar 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1)))
76 peano2uzr 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑘 − 1) + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 − 1)))
7769, 75, 76syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 − 1)))
78 fzsplit2 12351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑘 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 − 1))) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
7967, 77, 78syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)))
8064oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚) = (𝑘...𝑚))
8180uneq2d 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (((𝑘 − 1) + 1)...𝑚)) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
8279, 81eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (1...𝑚) = ((1...(𝑘 − 1)) ∪ (𝑘...𝑚)))
8339recnd 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑚)) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
8460, 82, 29, 83fsumsplit 14452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) + Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
8584oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) + Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
86 fzfid 12755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘...𝑚) ∈ Fin)
87 elfzuz 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ (𝑘...𝑚) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑘))
88 eluznn 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
8956, 87, 88syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
9089, 38syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
9186, 90fsumrecl 14446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
9291recnd 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
9347, 92pncan2d 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) + Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
9485, 93eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
9594fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
9641, 47abs2dif2d 14178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
9795, 96eqbrtrrd 4668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))))
9892abscld 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
9942, 48readdcld 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
100 2re 11075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 2 ∈ ℝ)
102101, 50remulcld 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ)
103 letr 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℝ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10498, 99, 102, 103syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10597, 104mpand 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (2 · 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10655, 105sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) + (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))) ≤ (𝑏 + 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10752, 106syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
108107ancomsd 470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
10928, 108sylan2b 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑘...𝑚) ≠ ∅) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
11027, 109pm2.61dane 2878 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
111110imp 445 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
112111an4s 868 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
113112expr 642 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
114113ralimdva 2959 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → (∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
115114impancom 456 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
116115an32s 845 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(𝑘 − 1))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
11717, 116mpd 15 . . . . 5 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
118117ralrimiva 2963 . . . 4 ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏))
119 breq2 4648 . . . . . 6 (𝑐 = (2 · 𝑏) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
1201192ralbidv 2986 . . . . 5 (𝑐 = (2 · 𝑏) → (∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)))
121120rspcev 3304 . . . 4 (((2 · 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ (2 · 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
1226, 118, 121syl2anc 692 . . 3 ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
123122rexlimiva 3024 . 2 (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑏 → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
1242, 123ax-mp 5 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑘...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  ∀wral 2909  ∃wrex 2910   ∪ cun 3565   ∩ cin 3566  ∅c0 3907   class class class wbr 4644   ↦ cmpt 4720  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  ℂcc 9919  ℝcr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926   < clt 10059   ≤ cle 10060   − cmin 10251   / cdiv 10669  ℕcn 11005  2c2 11055  ℤcz 11362  ℤ≥cuz 11672  ℝ+crp 11817  ...cfz 12311  abscabs 13955  Σcsu 14397  ψcchp 24800 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-o1 14202  df-lo1 14203  df-sum 14398  df-ef 14779  df-e 14780  df-sin 14781  df-cos 14782  df-pi 14784  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-prm 15367  df-pc 15523  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-cmp 21171  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-limc 23611  df-dv 23612  df-log 24284  df-cxp 24285  df-em 24700  df-cht 24804  df-vma 24805  df-chp 24806  df-ppi 24807 This theorem is referenced by:  pntpbnd  25258
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