MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem0d 25078
Description: Auxiliary lemma 4 for gausslemma2d 25093. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0d (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0d
StepHypRef Expression
1 gausslemma2dlem0.m . 2 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
2 gausslemma2dlem0.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
32gausslemma2dlem0a 25075 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4 nnre 11024 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
5 4re 11094 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ)
7 4ne0 11114 . . . . . 6 4 ≠ 0
87a1i 11 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
94, 6, 8redivcld 10850 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
10 nnnn0 11296 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
1110nn0ge0d 11351 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
12 4pos 11113 . . . . . . 7 0 < 4
135, 12pm3.2i 471 . . . . . 6 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
1413a1i 11 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
15 divge0 10889 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (𝑃 / 4))
164, 11, 14, 15syl21anc 1324 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑃 / 4))
179, 16jca 554 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃 / 4)))
18 flge0nn0 12616 . . 3 (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃 / 4)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
193, 17, 183syl 18 . 2 (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
201, 19syl5eqel 2704 1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  cdif 3569  {csn 4175   class class class wbr 4651  cfv 5886  (class class class)co 6647  cr 9932  0cc0 9933   < clt 10071  cle 10072   / cdiv 10681  cn 11017  2c2 11067  4c4 11069  0cn0 11289  cfl 12586  cprime 15379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fl 12588  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-dvds 14978  df-prm 15380
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0h  25082  gausslemma2dlem2  25086  gausslemma2dlem3  25087  gausslemma2dlem4  25088  gausslemma2dlem6  25091
  Copyright terms: Public domain W3C validator