Theorem hashnzfz2 37999

Description: Special case of hashnzfz 37998: the count of multiples in nℤ, n greater than one, restricted to an interval starting at two. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfz2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
hashnzfz2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
hashnzfz2	⊢ (𝜑 → (#‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

Proof of Theorem hashnzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11129	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		uznnssnn 11679	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ
4		hashnzfz2.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	sseldi 3581	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		2z 11353	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
8		hashnzfz2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
9		nnuz 11667	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		2m1e1 11079	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
11	10	fveq2i 6151	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
12	9, 11	eqtr4i 2646	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
13	8, 12	syl6eleq 2708	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
14	5, 7, 13	hashnzfz 37998	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))))
15	10	oveq1i 6614	. . . . 5 ⊢ ((2 − 1) / 𝑁) = (1 / 𝑁)
16	15	fveq2i 6151	. . . 4 ⊢ (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = (⌊‘(1 / 𝑁))
17		0red 9985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18	5	nnrecred 11010	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
19	5	nnred 10979	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
20	5	nngt0d 11008	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
21	19, 20	recgt0d 10902	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 𝑁))
22	17, 18, 21	ltled 10129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
23		eluzle 11644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
24	4, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
25	5	nnzd 11425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
26		zlem1lt 11373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
27	6, 25, 26	sylancr 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
28	24, 27	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 − 1) < 𝑁)
29	10, 28	syl5eqbrr 4649	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
30	5	nnrpd 11814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
31	30	recgt1d 11830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
32	29, 31	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < 1)
33		0p1e1 11076	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
34	32, 33	syl6breqr 4655	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < (0 + 1))
35		0z 11332	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
36		flbi 12557	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
37	18, 35, 36	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
38	22, 34, 37	mpbir2and 956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
39	16, 38	syl5eq 2667	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = 0)
40	39	oveq2d 6620	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0))
41	8	nnred 10979	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
42	41, 5	nndivred 11013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℝ)
43	42	flcld 12539	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
44	43	zcnd 11427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℂ)
45	44	subid1d 10325	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
46	14, 40, 45	3eqtrd 2659	1 ⊢ (𝜑 → (#‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613   “ cima 5077  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018   ≤ cle 10019   − cmin 10210   / cdiv 10628  ℕcn 10964  2c2 11014  ℤcz 11321  ℤ_≥cuz 11631  ...cfz 12268  ⌊cfl 12531  #chash 13057   ∥ cdvds 14907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-hash 13058  df-dvds 14908

This theorem is referenced by: (None)