Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashnzfz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnzfz2 38907
Description: Special case of hashnzfz 38906: the count of multiples in nℤ, n greater than one, restricted to an interval starting at two. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfz2.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
hashnzfz2.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
hashnzfz2 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

Proof of Theorem hashnzfz2
StepHypRef Expression
1 2nn 11266 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 uznnssnn 11817 . . . . 5 (2 ∈ ℕ → (ℤ‘2) ⊆ ℕ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (ℤ‘2) ⊆ ℕ
4 hashnzfz2.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
53, 4sseldi 3675 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 2z 11490 . . . 4 2 ∈ ℤ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
8 hashnzfz2.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
9 nnuz 11805 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 2m1e1 11216 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
1110fveq2i 6275 . . . . 5 (ℤ‘(2 − 1)) = (ℤ‘1)
129, 11eqtr4i 2717 . . . 4 ℕ = (ℤ‘(2 − 1))
138, 12syl6eleq 2781 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(2 − 1)))
145, 7, 13hashnzfz 38906 . 2 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))))
1510oveq1i 6743 . . . . 5 ((2 − 1) / 𝑁) = (1 / 𝑁)
1615fveq2i 6275 . . . 4 (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = (⌊‘(1 / 𝑁))
17 0red 10122 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
185nnrecred 11147 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
195nnred 11116 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
205nngt0d 11145 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2119, 20recgt0d 11039 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (1 / 𝑁))
2217, 18, 21ltled 10266 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
23 eluzle 11781 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
244, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
255nnzd 11562 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
26 zlem1lt 11510 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
276, 25, 26sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
2824, 27mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 − 1) < 𝑁)
2910, 28syl5eqbrr 4764 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝑁)
305nnrpd 11952 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3130recgt1d 11968 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
3229, 31mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) < 1)
33 0p1e1 11213 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3432, 33syl6breqr 4770 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑁) < (0 + 1))
35 0z 11469 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
36 flbi 12700 . . . . . 6 (((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
3718, 35, 36sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
3822, 34, 37mpbir2and 995 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
3916, 38syl5eq 2738 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = 0)
4039oveq2d 6749 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0))
418nnred 11116 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4241, 5nndivred 11150 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℝ)
4342flcld 12682 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
4443zcnd 11564 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℂ)
4544subid1d 10462 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
4614, 40, 453eqtrd 2730 1 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1564  wcel 2071  cin 3647  wss 3648  {csn 4253   class class class wbr 4728  cima 5189  cfv 5969  (class class class)co 6733  cr 10016  0cc0 10017  1c1 10018   + caddc 10020   < clt 10155  cle 10156  cmin 10347   / cdiv 10765  cn 11101  2c2 11151  cz 11458  cuz 11768  ...cfz 12408  cfl 12674  chash 13200  cdvds 15071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-pre-sup 10095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-int 4552  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-1o 7648  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-fin 8044  df-sup 8432  df-inf 8433  df-card 8846  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-div 10766  df-nn 11102  df-2 11160  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-rp 11915  df-fz 12409  df-fl 12676  df-hash 13201  df-dvds 15072
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator