MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashxplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashxplem 13160
Description: Lemma for hashxp 13161. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
hashxplem.1 𝐵 ∈ Fin
Assertion
Ref Expression
hashxplem (𝐴 ∈ Fin → (#‘(𝐴 × 𝐵)) = ((#‘𝐴) · (#‘𝐵)))

Proof of Theorem hashxplem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 5088 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (𝑥 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
21fveq2d 6152 . . 3 (𝑥 = ∅ → (#‘(𝑥 × 𝐵)) = (#‘(∅ × 𝐵)))
3 fveq2 6148 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = (#‘∅))
43oveq1d 6619 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((#‘𝑥) · (#‘𝐵)) = ((#‘∅) · (#‘𝐵)))
52, 4eqeq12d 2636 . 2 (𝑥 = ∅ → ((#‘(𝑥 × 𝐵)) = ((#‘𝑥) · (#‘𝐵)) ↔ (#‘(∅ × 𝐵)) = ((#‘∅) · (#‘𝐵))))
6 xpeq1 5088 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 × 𝐵) = (𝑦 × 𝐵))
76fveq2d 6152 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (#‘(𝑥 × 𝐵)) = (#‘(𝑦 × 𝐵)))
8 fveq2 6148 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (#‘𝑥) = (#‘𝑦))
98oveq1d 6619 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((#‘𝑥) · (#‘𝐵)) = ((#‘𝑦) · (#‘𝐵)))
107, 9eqeq12d 2636 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((#‘(𝑥 × 𝐵)) = ((#‘𝑥) · (#‘𝐵)) ↔ (#‘(𝑦 × 𝐵)) = ((#‘𝑦) · (#‘𝐵))))
11 xpeq1 5088 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 × 𝐵) = ((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵))
1211fveq2d 6152 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (#‘(𝑥 × 𝐵)) = (#‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)))
13 fveq2 6148 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (#‘𝑥) = (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
1413oveq1d 6619 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((#‘𝑥) · (#‘𝐵)) = ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (#‘𝐵)))
1512, 14eqeq12d 2636 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((#‘(𝑥 × 𝐵)) = ((#‘𝑥) · (#‘𝐵)) ↔ (#‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (#‘𝐵))))
16 xpeq1 5088 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵))
1716fveq2d 6152 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (#‘(𝑥 × 𝐵)) = (#‘(𝐴 × 𝐵)))
18 fveq2 6148 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝑥) = (#‘𝐴))
1918oveq1d 6619 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((#‘𝑥) · (#‘𝐵)) = ((#‘𝐴) · (#‘𝐵)))
2017, 19eqeq12d 2636 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((#‘(𝑥 × 𝐵)) = ((#‘𝑥) · (#‘𝐵)) ↔ (#‘(𝐴 × 𝐵)) = ((#‘𝐴) · (#‘𝐵))))
21 hashxplem.1 . . . 4 𝐵 ∈ Fin
22 hashcl 13087 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
2322nn0cnd 11297 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
2423mul02d 10178 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → (0 · (#‘𝐵)) = 0)
2521, 24ax-mp 5 . . 3 (0 · (#‘𝐵)) = 0
26 hash0 13098 . . . 4 (#‘∅) = 0
2726oveq1i 6614 . . 3 ((#‘∅) · (#‘𝐵)) = (0 · (#‘𝐵))
28 0xp 5160 . . . . 5 (∅ × 𝐵) = ∅
2928fveq2i 6151 . . . 4 (#‘(∅ × 𝐵)) = (#‘∅)
3029, 26eqtri 2643 . . 3 (#‘(∅ × 𝐵)) = 0
3125, 27, 303eqtr4ri 2654 . 2 (#‘(∅ × 𝐵)) = ((#‘∅) · (#‘𝐵))
32 oveq1 6611 . . . . 5 ((#‘(𝑦 × 𝐵)) = ((#‘𝑦) · (#‘𝐵)) → ((#‘(𝑦 × 𝐵)) + (#‘𝐵)) = (((#‘𝑦) · (#‘𝐵)) + (#‘𝐵)))
3332adantl 482 . . . 4 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (#‘(𝑦 × 𝐵)) = ((#‘𝑦) · (#‘𝐵))) → ((#‘(𝑦 × 𝐵)) + (#‘𝐵)) = (((#‘𝑦) · (#‘𝐵)) + (#‘𝐵)))
34 xpundir 5133 . . . . . . 7 ((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵) = ((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))
3534fveq2i 6151 . . . . . 6 (#‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = (#‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵)))
36 xpfi 8175 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)
3721, 36mpan2 706 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)
38 inxp 5214 . . . . . . . . 9 ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ((𝑦 ∩ {𝑧}) × (𝐵𝐵))
39 disjsn 4216 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
4039biimpri 218 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑦 → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
4140xpeq1d 5098 . . . . . . . . . 10 𝑧𝑦 → ((𝑦 ∩ {𝑧}) × (𝐵𝐵)) = (∅ × (𝐵𝐵)))
42 0xp 5160 . . . . . . . . . 10 (∅ × (𝐵𝐵)) = ∅
4341, 42syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 𝑧𝑦 → ((𝑦 ∩ {𝑧}) × (𝐵𝐵)) = ∅)
4438, 43syl5eq 2667 . . . . . . . 8 𝑧𝑦 → ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ∅)
45 snfi 7982 . . . . . . . . . 10 {𝑧} ∈ Fin
46 xpfi 8175 . . . . . . . . . 10 (({𝑧} ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin)
4745, 21, 46mp2an 707 . . . . . . . . 9 ({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin
48 hashun 13111 . . . . . . . . 9 (((𝑦 × 𝐵) ∈ Fin ∧ ({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ∅) → (#‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((#‘(𝑦 × 𝐵)) + (#‘({𝑧} × 𝐵))))
4947, 48mp3an2 1409 . . . . . . . 8 (((𝑦 × 𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ∅) → (#‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((#‘(𝑦 × 𝐵)) + (#‘({𝑧} × 𝐵))))
5037, 44, 49syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (#‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((#‘(𝑦 × 𝐵)) + (#‘({𝑧} × 𝐵))))
51 snex 4869 . . . . . . . . . . 11 {𝑧} ∈ V
5221elexi 3199 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
5351, 52xpcomen 7995 . . . . . . . . . 10 ({𝑧} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝑧})
54 vex 3189 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
5552, 54xpsnen 7988 . . . . . . . . . 10 (𝐵 × {𝑧}) ≈ 𝐵
5653, 55entri 7954 . . . . . . . . 9 ({𝑧} × 𝐵) ≈ 𝐵
57 hashen 13075 . . . . . . . . . 10 ((({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘({𝑧} × 𝐵)) = (#‘𝐵) ↔ ({𝑧} × 𝐵) ≈ 𝐵))
5847, 21, 57mp2an 707 . . . . . . . . 9 ((#‘({𝑧} × 𝐵)) = (#‘𝐵) ↔ ({𝑧} × 𝐵) ≈ 𝐵)
5956, 58mpbir 221 . . . . . . . 8 (#‘({𝑧} × 𝐵)) = (#‘𝐵)
6059oveq2i 6615 . . . . . . 7 ((#‘(𝑦 × 𝐵)) + (#‘({𝑧} × 𝐵))) = ((#‘(𝑦 × 𝐵)) + (#‘𝐵))
6150, 60syl6eq 2671 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (#‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((#‘(𝑦 × 𝐵)) + (#‘𝐵)))
6235, 61syl5eq 2667 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (#‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((#‘(𝑦 × 𝐵)) + (#‘𝐵)))
6362adantr 481 . . . 4 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (#‘(𝑦 × 𝐵)) = ((#‘𝑦) · (#‘𝐵))) → (#‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((#‘(𝑦 × 𝐵)) + (#‘𝐵)))
64 hashunsng 13121 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ V → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((#‘𝑦) + 1)))
6554, 64ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((#‘𝑦) + 1))
6665oveq1d 6619 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (#‘𝐵)) = (((#‘𝑦) + 1) · (#‘𝐵)))
67 hashcl 13087 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Fin → (#‘𝑦) ∈ ℕ0)
6867nn0cnd 11297 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin → (#‘𝑦) ∈ ℂ)
69 ax-1cn 9938 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
70 nn0cn 11246 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
7121, 22, 70mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (#‘𝐵) ∈ ℂ
72 adddir 9975 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → (((#‘𝑦) + 1) · (#‘𝐵)) = (((#‘𝑦) · (#‘𝐵)) + (1 · (#‘𝐵))))
7369, 71, 72mp3an23 1413 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑦) ∈ ℂ → (((#‘𝑦) + 1) · (#‘𝐵)) = (((#‘𝑦) · (#‘𝐵)) + (1 · (#‘𝐵))))
7468, 73syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin → (((#‘𝑦) + 1) · (#‘𝐵)) = (((#‘𝑦) · (#‘𝐵)) + (1 · (#‘𝐵))))
7571mulid2i 9987 . . . . . . . . 9 (1 · (#‘𝐵)) = (#‘𝐵)
7675oveq2i 6615 . . . . . . . 8 (((#‘𝑦) · (#‘𝐵)) + (1 · (#‘𝐵))) = (((#‘𝑦) · (#‘𝐵)) + (#‘𝐵))
7774, 76syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Fin → (((#‘𝑦) + 1) · (#‘𝐵)) = (((#‘𝑦) · (#‘𝐵)) + (#‘𝐵)))
7877adantr 481 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((#‘𝑦) + 1) · (#‘𝐵)) = (((#‘𝑦) · (#‘𝐵)) + (#‘𝐵)))
7966, 78eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (#‘𝐵)) = (((#‘𝑦) · (#‘𝐵)) + (#‘𝐵)))
8079adantr 481 . . . 4 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (#‘(𝑦 × 𝐵)) = ((#‘𝑦) · (#‘𝐵))) → ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (#‘𝐵)) = (((#‘𝑦) · (#‘𝐵)) + (#‘𝐵)))
8133, 63, 803eqtr4d 2665 . . 3 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (#‘(𝑦 × 𝐵)) = ((#‘𝑦) · (#‘𝐵))) → (#‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (#‘𝐵)))
8281ex 450 . 2 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((#‘(𝑦 × 𝐵)) = ((#‘𝑦) · (#‘𝐵)) → (#‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (#‘𝐵))))
835, 10, 15, 20, 31, 82findcard2s 8145 1 (𝐴 ∈ Fin → (#‘(𝐴 × 𝐵)) = ((#‘𝐴) · (#‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cun 3553  cin 3554  c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613   × cxp 5072  cfv 5847  (class class class)co 6604  cen 7896  Fincfn 7899  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  0cn0 11236  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058
This theorem is referenced by:  hashxp  13161
  Copyright terms: Public domain W3C validator