MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isopn3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isopn3i 20826
Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isopn3i ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem isopn3i
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝐽)
2 elssuni 4440 . . 3 (𝑆𝐽𝑆 𝐽)
3 eqid 2621 . . . 4 𝐽 = 𝐽
43isopn3 20810 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
52, 4sylan2 491 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
61, 5mpbid 222 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3560   cuni 4409  cfv 5857  Topctop 20638  intcnt 20761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-top 20639  df-ntr 20764
This theorem is referenced by:  maxlp  20891  cnntr  21019  bcth2  23067  dvrec  23658  dvmptres  23666  dvcnvlem  23677  dvlip  23694  dvlipcn  23695  dvlip2  23696  dvne0  23712  lhop2  23716  lhop  23717  psercn  24118  dvlog  24331  dvlog2  24333  cxpcn3  24423  efrlim  24630  lgamgulmlem2  24690  cvmlift2lem11  31056  cvmlift2lem12  31057  binomcxplemdvbinom  38073  binomcxplemnotnn0  38076  limciccioolb  39289  limcicciooub  39305  limcresiooub  39310  limcresioolb  39311  dirkercncflem2  39658  fourierdlem32  39693  fourierdlem33  39694  fourierdlem48  39708  fourierdlem49  39709  fourierdlem62  39722  fouriersw  39785
  Copyright terms: Public domain W3C validator