Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem33 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem33 39661
Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Upper bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem33.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem33.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem33.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem33.4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem33.5 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
fourierdlem33.6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem33.7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem33.8 (𝜑𝐶 < 𝐷)
fourierdlem33.ss (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem33.y 𝑌 = if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷))
fourierdlem33.10 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem33 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))

Proof of Theorem fourierdlem33
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem33.5 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
21adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
3 fourierdlem33.y . . . . 5 𝑌 = if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷))
4 iftrue 4064 . . . . 5 (𝐷 = 𝐵 → if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷)) = 𝐿)
53, 4syl5req 2668 . . . 4 (𝐷 = 𝐵𝐿 = 𝑌)
65adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐿 = 𝑌)
7 oveq2 6612 . . . . 5 (𝐷 = 𝐵 → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐵))
87adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐵))
9 fourierdlem33.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10 cncff 22604 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
13 fourierdlem33.ss . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1413adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
15 ioosscn 39124 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
17 eqid 2621 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18 fourierdlem33.10 . . . . 5 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
19 fourierdlem33.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
20 fourierdlem33.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 < 𝐷)
2119leidd 10538 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝐷)
22 fourierdlem33.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2322rexrd 10033 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
24 elioc2 12178 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝐷𝐷𝐷)))
2523, 19, 24syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝐷𝐷𝐷)))
2619, 20, 21, 25mpbir3and 1243 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷))
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷))
28 eqcom 2628 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 𝐵𝐵 = 𝐷)
2928biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝐷 = 𝐵𝐵 = 𝐷)
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐵 = 𝐷)
3117cnfldtop 22497 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
32 fourierdlem33.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3332rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
34 fourierdlem33.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3534rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
36 fourierdlem33.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 𝐵)
37 snunioo2 39139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
3833, 35, 36, 37syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
39 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,]𝐵) ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ∈ V)
4138, 40eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ V)
42 resttop 20874 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
4331, 41, 42sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
4418, 43syl5eqel 2702 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4544adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
46 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 = 𝐵 → (𝐶(,]𝐷) = (𝐶(,]𝐵))
4746adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) = (𝐶(,]𝐵))
4823adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
49 pnfxr 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
51 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
5234adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
53 elioc2 12178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵)))
5448, 52, 53syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵)))
5551, 54mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵))
5655simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5755simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
5856ltpnfd 11899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 < +∞)
5948, 50, 56, 57, 58eliood 39128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
6032adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6122adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
6232, 34, 22, 19, 20, 13fourierdlem10 39638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐷𝐵))
6362simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝐶)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
6560, 61, 56, 64, 57lelttrd 10139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
6655simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
6733adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
68 elioc2 12178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
6967, 52, 68syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
7056, 65, 66, 69mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
7159, 70elind 3776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
72 elinel1 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
73 elioore 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7574adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7623adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7749a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
7872adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
79 ioogtlb 39125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝑥)
8076, 77, 78, 79syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 < 𝑥)
81 elinel2 3778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
8333adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8434adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8583, 84, 68syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
8682, 85mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
8786simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥𝐵)
8876, 84, 53syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵)))
8975, 80, 87, 88mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
9071, 89impbida 876 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))))
9190eqrdv 2619 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
92 retop 22475 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
94 iooretop 22479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
96 elrestr 16010 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ∈ V ∧ (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
9793, 40, 95, 96syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
9891, 97eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
9998adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10047, 99eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
10238oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10317tgioo2 22514 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
104103eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
105104oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵))
10631a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
107 iocssre 12195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
10833, 34, 107syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
109 reex 9971 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
111 restabs 20879 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
112106, 108, 110, 111syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
113105, 112syl5reqr 2670 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
114101, 102, 1133eqtrrd 2660 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
115114adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
116100, 115eleqtrd 2700 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) ∈ 𝐽)
117 isopn3i 20796 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶(,]𝐷) ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)) = (𝐶(,]𝐷))
11845, 116, 117syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)) = (𝐶(,]𝐷))
11927, 30, 1183eltr4d 2713 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)))
120 sneq 4158 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 = 𝐵 → {𝐷} = {𝐵})
121120eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = 𝐵 → {𝐵} = {𝐷})
122121uneq2d 3745 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 𝐵 → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵}) = ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}))
123122adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵}) = ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}))
12419rexrd 10033 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
125 snunioo2 39139 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷) → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}) = (𝐶(,]𝐷))
12623, 124, 20, 125syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}) = (𝐶(,]𝐷))
127126adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}) = (𝐶(,]𝐷))
128123, 127eqtr2d 2656 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) = ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵}))
129128fveq2d 6152 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)) = ((int‘𝐽)‘((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵})))
130119, 129eleqtrd 2700 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵})))
13112, 14, 16, 17, 18, 130limcres 23556 . . . 4 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
1328, 131eqtr2d 2656 . . 3 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
1332, 6, 1323eltr3d 2712 . 2 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
134 limcresi 23555 . . 3 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷)
135 iffalse 4067 . . . . . 6 𝐷 = 𝐵 → if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷)) = (𝐹𝐷))
1363, 135syl5eq 2667 . . . . 5 𝐷 = 𝐵𝑌 = (𝐹𝐷))
137136adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝑌 = (𝐹𝐷))
138 ssid 3603 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
140 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
141 unicntop 38687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
142141restid 16015 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
14331, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
144143eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
14517, 140, 144cncfcn 22620 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14615, 139, 145sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1479, 146eleqtrd 2700 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14817cnfldtopon 22496 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
14915a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
150 resttopon 20875 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
151148, 149, 150sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
152148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
153 cncnp 20994 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
154151, 152, 153syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
155147, 154mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
156155simprd 479 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
157156adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
15833adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15935adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16019adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
16132, 22, 19, 63, 20lelttrd 10139 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 𝐷)
162161adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐴 < 𝐷)
16334adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
16462simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝐵)
165164adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷𝐵)
166 neqne 2798 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = 𝐵𝐷𝐵)
167166necomd 2845 . . . . . . . . . 10 𝐷 = 𝐵𝐵𝐷)
168167adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵𝐷)
169160, 163, 165, 168leneltd 10135 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 < 𝐵)
170158, 159, 160, 162, 169eliood 39128 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵))
171 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐷 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷))
172171eleq2d 2684 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐷 → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷)))
173172rspccva 3294 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷))
174157, 170, 173syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷))
17517, 140cnplimc 23557 . . . . . . 7 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷))))
17615, 170, 175sylancr 694 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷))))
177174, 176mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷)))
178177simprd 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷))
179137, 178eqeltrd 2698 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
180134, 179sseldi 3581 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
181133, 180pm2.61dan 831 1 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3186  cun 3553  cin 3554  wss 3555  ifcif 4058  {csn 4148   class class class wbr 4613  ran crn 5075  cres 5076  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  (,)cioo 12117  (,]cioc 12118  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  topGenctg 16019  fldccnfld 19665  Topctop 20617  TopOnctopon 20618  intcnt 20731   Cn ccn 20938   CnP ccnp 20939  cnccncf 22587   lim climc 23532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-icc 12124  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-ntr 20734  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-xms 22035  df-ms 22036  df-cncf 22589  df-limc 23536
This theorem is referenced by:  fourierdlem49  39676  fourierdlem76  39703  fourierdlem91  39718
  Copyright terms: Public domain W3C validator