Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem33 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem33 40860
 Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Upper bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem33.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem33.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem33.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem33.4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem33.5 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
fourierdlem33.6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem33.7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem33.8 (𝜑𝐶 < 𝐷)
fourierdlem33.ss (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem33.y 𝑌 = if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷))
fourierdlem33.10 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem33 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))

Proof of Theorem fourierdlem33
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem33.5 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
21adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
3 fourierdlem33.y . . . . 5 𝑌 = if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷))
4 iftrue 4236 . . . . 5 (𝐷 = 𝐵 → if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷)) = 𝐿)
53, 4syl5req 2807 . . . 4 (𝐷 = 𝐵𝐿 = 𝑌)
65adantl 473 . . 3 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐿 = 𝑌)
7 oveq2 6821 . . . . 5 (𝐷 = 𝐵 → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐵))
87adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐵))
9 fourierdlem33.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10 cncff 22897 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
1211adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
13 fourierdlem33.ss . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1413adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
15 ioosscn 40219 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
17 eqid 2760 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18 fourierdlem33.10 . . . . 5 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
19 fourierdlem33.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
20 fourierdlem33.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 < 𝐷)
2119leidd 10786 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝐷)
22 fourierdlem33.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2322rexrd 10281 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
24 elioc2 12429 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝐷𝐷𝐷)))
2523, 19, 24syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝐷𝐷𝐷)))
2619, 20, 21, 25mpbir3and 1428 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷))
2726adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (𝐶(,]𝐷))
28 eqcom 2767 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 𝐵𝐵 = 𝐷)
2928biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝐷 = 𝐵𝐵 = 𝐷)
3029adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐵 = 𝐷)
3117cnfldtop 22788 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
32 fourierdlem33.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3332rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
34 fourierdlem33.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3534rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
36 fourierdlem33.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 𝐵)
37 snunioo2 40234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
3833, 35, 36, 37syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
39 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,]𝐵) ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ∈ V)
4138, 40eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ V)
42 resttop 21166 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
4331, 41, 42sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
4418, 43syl5eqel 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4544adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
46 oveq2 6821 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 = 𝐵 → (𝐶(,]𝐷) = (𝐶(,]𝐵))
4746adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) = (𝐶(,]𝐵))
4823adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
49 pnfxr 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
51 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
5234adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
53 elioc2 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵)))
5448, 52, 53syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵)))
5551, 54mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵))
5655simp1d 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5755simp2d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
5856ltpnfd 12148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 < +∞)
5948, 50, 56, 57, 58eliood 40223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
6032adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6122adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
6232, 34, 22, 19, 20, 13fourierdlem10 40837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐷𝐵))
6362simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝐶)
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
6560, 61, 56, 64, 57lelttrd 10387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
6655simp3d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
6733adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
68 elioc2 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
6967, 52, 68syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
7056, 65, 66, 69mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
7159, 70elind 3941 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
72 elinel1 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
73 elioore 12398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7574adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7623adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7749a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
7872adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
79 ioogtlb 40220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝑥)
8076, 77, 78, 79syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 < 𝑥)
81 elinel2 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
8281adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
8333adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8434adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8583, 84, 68syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
8682, 85mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
8786simp3d 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥𝐵)
8876, 84, 53syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑥𝑥𝐵)))
8975, 80, 87, 88mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
9071, 89impbida 913 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))))
9190eqrdv 2758 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
92 retop 22766 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
94 iooretop 22770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
96 elrestr 16291 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ∈ V ∧ (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
9793, 40, 95, 96syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
9891, 97eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
9998adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10047, 99eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
10238oveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10317tgioo2 22807 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
104103eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
105104oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵))
10631a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
107 iocssre 12446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
10833, 34, 107syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
109 reex 10219 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
111 restabs 21171 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
112106, 108, 110, 111syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
113105, 112syl5reqr 2809 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)))
114101, 102, 1133eqtrrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
115114adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
116100, 115eleqtrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) ∈ 𝐽)
117 isopn3i 21088 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶(,]𝐷) ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)) = (𝐶(,]𝐷))
11845, 116, 117syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)) = (𝐶(,]𝐷))
11927, 30, 1183eltr4d 2854 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)))
120 sneq 4331 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 = 𝐵 → {𝐷} = {𝐵})
121120eqcomd 2766 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = 𝐵 → {𝐵} = {𝐷})
122121uneq2d 3910 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 𝐵 → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵}) = ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}))
123122adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵}) = ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}))
12419rexrd 10281 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
125 snunioo2 40234 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐷) → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}) = (𝐶(,]𝐷))
12623, 124, 20, 125syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}) = (𝐶(,]𝐷))
127126adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐷}) = (𝐶(,]𝐷))
128123, 127eqtr2d 2795 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐶(,]𝐷) = ((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵}))
129128fveq2d 6356 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((int‘𝐽)‘(𝐶(,]𝐷)) = ((int‘𝐽)‘((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵})))
130119, 129eleqtrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘((𝐶(,)𝐷) ∪ {𝐵})))
13112, 14, 16, 17, 18, 130limcres 23849 . . . 4 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
1328, 131eqtr2d 2795 . . 3 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
1332, 6, 1323eltr3d 2853 . 2 ((𝜑𝐷 = 𝐵) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
134 limcresi 23848 . . 3 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷)
135 iffalse 4239 . . . . . 6 𝐷 = 𝐵 → if(𝐷 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝐷)) = (𝐹𝐷))
1363, 135syl5eq 2806 . . . . 5 𝐷 = 𝐵𝑌 = (𝐹𝐷))
137136adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝑌 = (𝐹𝐷))
138 ssid 3765 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
140 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
141 unicntop 22790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
142141restid 16296 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
14331, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
144143eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
14517, 140, 144cncfcn 22913 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14615, 139, 145sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1479, 146eleqtrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14817cnfldtopon 22787 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
14915a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
150 resttopon 21167 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
151148, 149, 150sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
152148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
153 cncnp 21286 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
154151, 152, 153syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
155147, 154mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
156155simprd 482 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
157156adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
15833adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15935adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16019adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
16132, 22, 19, 63, 20lelttrd 10387 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 𝐷)
162161adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐴 < 𝐷)
16334adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
16462simprd 482 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝐵)
165164adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷𝐵)
166 neqne 2940 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = 𝐵𝐷𝐵)
167166necomd 2987 . . . . . . . . . 10 𝐷 = 𝐵𝐵𝐷)
168167adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵𝐷)
169160, 163, 165, 168leneltd 10383 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 < 𝐵)
170158, 159, 160, 162, 169eliood 40223 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵))
171 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐷 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷))
172171eleq2d 2825 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐷 → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷)))
173172rspccva 3448 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷))
174157, 170, 173syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷))
17517, 140cnplimc 23850 . . . . . . 7 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷))))
17615, 170, 175sylancr 698 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → (𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) ↔ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷))))
177174, 176mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷)))
178177simprd 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → (𝐹𝐷) ∈ (𝐹 lim 𝐷))
179137, 178eqeltrd 2839 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
180134, 179sseldi 3742 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = 𝐵) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
181133, 180pm2.61dan 867 1 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐶(,)𝐷)) lim 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804  ran crn 5267   ↾ cres 5268  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127  +∞cpnf 10263  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267  (,)cioo 12368  (,]cioc 12369   ↾t crest 16283  TopOpenctopn 16284  topGenctg 16300  ℂfldccnfld 19948  Topctop 20900  TopOnctopon 20917  intcnt 21023   Cn ccn 21230   CnP ccnp 21231  –cn→ccncf 22880   limℂ climc 23825 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-icc 12375  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-rest 16285  df-topn 16286  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-ntr 21026  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-xms 22326  df-ms 22327  df-cncf 22882  df-limc 23829 This theorem is referenced by:  fourierdlem49  40875  fourierdlem76  40902  fourierdlem91  40917
 Copyright terms: Public domain W3C validator