MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvne0 23678
Description: A function on a closed interval with nonzero derivative is either monotone increasing or monotone decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvne0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvne0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvne0.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvne0.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvne0.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvne0 (𝜑 → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))

Proof of Theorem dvne0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvne0.z . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
2 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
32notbid 308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (¬ 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
41, 3syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
54necon2ad 2805 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) → 𝑥 ≠ 0))
65imp 445 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ≠ 0)
7 dvne0.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
8 cncff 22604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
10 dvne0.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11 dvne0.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
12 iccssre 12197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1310, 11, 12syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14 dvfre 23620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
159, 13, 14syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
16 frn 6010 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ → ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
1817sselda 3583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19 0re 9984 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
20 lttri2 10064 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥)))
2118, 19, 20sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥)))
22 0xr 10030 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
23 elioomnf 12210 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 0)))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 0))
2524baib 943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ↔ 𝑥 < 0))
26 elrp 11778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
2726baib 943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 0 < 𝑥))
2825, 27orbi12d 745 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥)))
2918, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → ((𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥)))
3021, 29bitr4d 271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+)))
316, 30mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+))
32 elun 3731 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+))
3331, 32sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+))
3433ex 450 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+)))
3534ssrdv 3589 . . . . 5 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+))
36 disjssun 4008 . . . . 5 ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = ∅ → (ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+) ↔ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+))
3735, 36syl5ibcom 235 . . . 4 (𝜑 → ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = ∅ → ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+))
3837imp 445 . . 3 ((𝜑 ∧ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = ∅) → ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+)
3910adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
4011adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
417adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
42 dvne0.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
4342feq2d 5988 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
4415, 43mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
45 ffn 6002 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ → (ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵))
4746anim1i 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+))
48 df-f 5851 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ+ ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+))
4947, 48sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ+)
5039, 40, 41, 49dvgt0 23671 . . . 4 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))
5150orcd 407 . . 3 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
5238, 51syldan 487 . 2 ((𝜑 ∧ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = ∅) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
53 n0 3907 . . . 4 ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)))
54 elin 3774 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) ↔ (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)0)))
55 fvelrnb 6200 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
5646, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
5710adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5811adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → 𝐵 ∈ ℝ)
597adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
6046adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → (ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵))
6144adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
6261ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
631ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
64 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
65 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
66 ioossicc 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
67 rescncf 22608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)))
6866, 7, 67mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
6968ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
70 ax-resscn 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ℝ ⊆ ℂ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
72 fss 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
739, 70, 72sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
7466, 13syl5ss 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
75 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7675tgioo2 22514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7775, 76dvres 23581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))))
7871, 73, 13, 74, 77syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))))
79 retop 22475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
80 iooretop 22479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
81 isopn3i 20796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
8279, 80, 81mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)
8382reseq2i 5353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))
84 fnresdm 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (ℝ D 𝐹))
8546, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (ℝ D 𝐹))
8683, 85syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = (ℝ D 𝐹))
8778, 86eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (ℝ D 𝐹))
8887dmeqd 5286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = dom (ℝ D 𝐹))
8988, 42eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (𝐴(,)𝐵))
9089ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (𝐴(,)𝐵))
9164, 65, 69, 90dvivth 23677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑦)[,]((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑧)) ⊆ ran (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))))
9287ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (ℝ D 𝐹))
9392fveq1d 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
9492fveq1d 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
9593, 94oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑦)[,]((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑧)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
9692rneqd 5313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ran (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ran (ℝ D 𝐹))
9791, 95, 963sstr3d 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
9819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 0 ∈ ℝ)
99 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))
100 elioomnf 12210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ∈ ℝ* → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0)))
10122, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0))
10299, 101sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0))
103102simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0)
104102simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
105 ltle 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0))
106104, 19, 105sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0))
107103, 106mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0)
108 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
10965, 62syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
110 elicc2 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ) → (0 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
111104, 109, 110syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (0 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
11298, 107, 108, 111mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 0 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
11397, 112sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
114113expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
11563, 114mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
116 ltnle 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
11762, 19, 116sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
118115, 117mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0)
119 elioomnf 12210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ℝ* → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0)))
12022, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0))
12162, 118, 120sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0))
122121ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0))
123 ffnfv 6343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(-∞(,)0) ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0)))
12460, 122, 123sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(-∞(,)0))
12557, 58, 59, 124dvlt0 23672 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))
126125olcd 408 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
127126expr 642 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
128 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)0)))
129128imbi1d 331 . . . . . . . . . 10 (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))))
130127, 129syl5ibcom 235 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))))
131130rexlimdva 3024 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))))
13256, 131sylbid 230 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))))
133132impd 447 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)0)) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
13454, 133syl5bi 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
135134exlimdv 1858 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
13653, 135syl5bi 232 . . 3 (𝜑 → ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) ≠ ∅ → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
137136imp 445 . 2 ((𝜑 ∧ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) ≠ ∅) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
13852, 137pm2.61dane 2877 1 (𝜑 → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613  ccnv 5073  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847   Isom wiso 5848  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  +crp 11776  (,)cioo 12117  [,]cicc 12120  TopOpenctopn 16003  topGenctg 16019  fldccnfld 19665  Topctop 20617  intcnt 20731  cnccncf 22587   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  dvne0f1  23679  dvcnvrelem1  23684
  Copyright terms: Public domain W3C validator